第二章2.5夹角的计算一、选择题1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为()A．－B．C．D．以上都不对[答案]B[解析]cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.2．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则A1E与BD所成角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]B[解析]分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，D(0,0,0)，∴A1E＝(－1,2，－1)，BD＝(－1，－2,0)．∴|cos〈A1E，BD〉|＝||＝＝.3．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A．B．C．D．[答案]C[解析]以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E(，1,0)，D1(0,0,1)，∴AD1＝(－1,0,1)，AE＝(－，1,0)．设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.4．如图，四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为()A．B．C．D．[答案]C[解析]如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，DB与EC的夹角恰是二面角的平面角，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，可以求得BD＝，ED＝. BC＝BD＋DE＋EC，∴BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2BD·DE＋2DE·EC＋2EC·BD.∴EC·BD＝－.∴cos〈BD，EC〉＝－.即cos〈DB，EC〉＝.另解：如图建立空间直角坐标系，不妨设AB＝BC＝CD＝PC＝2.则A(2,0,0)，C(0,0,0)，B(1，，0)，P(0,0,2)设平面PAB的法向量n·AB＝0，即不妨取n＝(3，，3)，又平面PAC的法向理为n0＝(0,1,0)∴cosθ＝＝＝.5．直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1分别为A1B1、A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AE1所成角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]C[解析]如图所示，取直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，设|BC|＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，E1(，0，a)，D1(，，a)∴AE1＝(－，0，a)，BD1＝(，－，a)∴AE1·BD1＝a2，|AE1|＝a，|BD1|＝A．∴cos〈AE1，BD1〉＝＝，故选C．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A．B．C．D．[答案]D[解析]解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，∴sin∠MGF＝.解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)， F(，0,0)，G(1,1，)，∴FG＝，设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，则sinθ＝|cos〈n，FG〉|＝＝＝.二、填空题7．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC夹角的余弦值为________________．[答案][解析]根据题意，以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)．于是得A1B＝(－1,1，－2)，AC＝(－1,0,0)，所以cos〈A1B，AC〉＝＝＝，所以异面直线A1B与AC夹角的余弦值为.8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．[答案][解析]不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如右图所示空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，则CD＝，CB1＝(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由，解得n＝(－，1,1)．又 DA＝，∴sinθ＝|cos〈DA，n〉|＝.三、解答题9．(2014·辽宁理)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°、E，F分别为AC、DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．[解析](1)方法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，图1所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC．又EO⊥BC，因此BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC．方法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线...
