第五节数列的求和Ｋ一、直接用等差、等比数列的求和公式求和1．等差数列的前n项和公式．Sn＝＝na1＋d.2．等比数列的前n项和公式．Sn＝(注意：公比含字母时一定要讨论)二、错位相减法求和例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法．五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项．1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用＝(－)(其中d＝an＋1－an)．2．常见的拆项．＝－；＝；＝；n·n！＝(n＋1)！－n！；＝－.六、公式法求和七、倒序相加法求和如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．八、其他方法求和如归纳猜想法、奇偶分拆法等．11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(B)A．63B．45C．36D．27解析：由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴9，36－9，S9－36成等差数列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故选B.2．(2013·三亚质检)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(D)A．－200B．－100C．200D．100解析：由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100×(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.3．等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列的前n项和为，则n的值为16．解析： 公差d＝＝3，∴通项公式为an＝a3＋(n－3)×3＝3n－1(n∈N*)．∴＝＝(－)．用裂项求和法求得其前n项和为Sn＝.令＝，解得n＝16.4．在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的各数之和为2_032．解析：满足条件的数中，最小的是24，最大的是210，所以S＝24＋25＋…＋210＝＝(27－1)×24＝2032.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝(－2)n－1．高考方向1.数列求和主要考查：（1）等差数列和等比数列的求和.（2）使用裂项法、错位相减法的求和.（3）根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和.2.数列求和问题一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.3.以解答题为主，难度中等或稍难.1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(A)A.B.C.D.解析：由a5＝5，S5＝15，得a1＝1，d＝1.∴an＝1＋(n－1)＝n.∴＝＝－.又＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.22．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(C)A．3B．4C．5D．63．(2014·山东卷)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1(＋)．当n为偶数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.所以Tn＝.1．已知函数f(x)＝x2－bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2015的值为(D)A.B.C.D.解析： f′(x)＝2x－b，f′(1)＝2－b＝3，∴b＝－1.∴f(x)＝x2＋x.∴＝＝＝－.∴Sn＝＋＋(－)＋…＋＝1－＝.∴S2015＝.故选D.2．已知数列{an}，{bn}中，a1＝b1＝1，且当n≥2时，an－nan－1＝0，bn＝2bn－1－2n－1.记n的阶乘n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n!(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列为等差数列；(3)若cn＝＋bn－2n，求{cn}的...
