第14讲基本不等及其应用、简单的线性声名规划问题A级——高考保分练1．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值为________．解析：因为ab＝2，由基本不等式得：a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a2＝b2＝2时取等号，即a2＋b2取得最小值4，因此c≤4，所以c的最大值为4.答案：42．(2019·南京三模)若实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数z＝x＋3y过点B(1，－2)时取得最小值，所以zmin＝1＋3×(－2)＝－5.答案：－53．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.答案：364．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最大值是________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由图可知，当目标函数过点A(5,3)时，z取得最大值，所以zmax＝2×5－3＝7.答案：75．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．解析：因为1＝2x＋2y≥2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．答案：(－∞，－2]6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝12，则△ABC面积的最大值为________．解析：由三角形的面积公式：S＝absinC＝ab≤×2＝9，当且仅当a＝b＝6时等号成立，则△ABC面积的最大值为9.答案：97．某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用________年报废最合算(即平均每年费用最少)．解析：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10＋1.5x＋＝10＋1.5x＋0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y＝0.1x＋＋1.5≥2＋1.5＝3.5(万元)，当且仅当x＝10时，取等号．答案：108．(2019·海安期末)设P(x，y)为椭圆＋＝1在第一象限上的点，则＋的最小值为________．解析：因为椭圆＋＝1可化为＋＝4，所以＋＝＋≥＋＝＋＝4，当且仅当x＝2，y＝3时，取等号．答案：49．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．答案：1510．(2019·前黄中学检测)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．解析：因为2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，所以6－(x2＋4y2)≤，所以x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)．又因为(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12(当且仅当x＝－2y时取等号)．综上可知4≤x2＋4y2≤12.答案：[4,12]11．某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(2)因为8
