13数乘向量时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0答案：C解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD.BC＋BA答案：A解析：CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若AB＝a，AD＝b，则AF＝()A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b答案：A解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝a＋b.4．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为()A.B.C.D.答案：C解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，∴AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)＝AD＋AC＝AB＋AC＝a＋b，∴x＝，y＝.5．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D答案：A解析：因为BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以AB与BD向量共线，又因为AB与BD有共点B，所以A、B、D三点共线．6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是()①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b.A．①②④B．①③C．②③④D．③④答案：A解析：关键是对共线向量的理解．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点A、B、C三点共线，且点O是平面ABC内任意一点，若OA＝λOB＋μOC，则λ＋μ＝________.答案：18．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.答案：解析：由已知得，解得x＝y＝.9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0,2QA＋QB＋QC＝BC，若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________.答案：解析：由条件PA＋PC＝0，知PA＝－PC＝CP，所以点P是边AC的中点．又2QA＋QB＋QC＝BC，所以2QA＝BC－QB－QC＝BC＋CQ＋BQ＝2BQ，从而有QA＝BQ，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以|PQ|＝|BC|，故λ＝。三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．求证：(1)A、B、D三点共线；(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．证明：(1)∵BD＝BC＋CD＝5e1＋5e2＝5AB，∴BD∥AB，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴，∴k2＝1，∴k＝±1.11．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值．解：AP＝AN＋NP＝AC＋NP＝mAB＋AC，∴NP＝mAB－AC.又NB＝NC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，设NP＝λNB，则λAB－λAC＝mAB－AC，∴m＝λ＝.12．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若CM＝tCP，则t等于多少？解析：∵A，M，Q三点共线，∴CM＝αCQ＋βCA(α＋β＝1)，∴CP＝CM＝CQ＋CA＝CB＋CA.又∵CP＝CA＋CB，∴α＝，β＝，∴α＋β＝＋＝1，∴t＝.
