2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题实战演练理1．(2014·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(D)A．5B．＋C．7＋D．6解析：设Q(cosθ，sinθ)，圆心为M，由已知得M(0,6)．则|MQ|＝＝＝＝≤5，故|PQ|max＝5＋＝6.2．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.解析：双曲线x2－y2＝1的一条渐近线为直线y＝x，显然直线y＝x与直线x－y＋1＝0平行，且两直线之间的距离为＝.因为点P为双曲线x2－y2＝1的右支上一点，所以点P到直线y＝x的距离恒大于0.结合图形可知点P到直线x－y＋1＝0的距离恒大于，结合已知可得c的最大值为.3．(2013·陕西卷)已知动圆过定点A(4,0)．且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q.若x轴是∠PBQ的平分线，证明直线l过定点．解析：(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝.又|O1A|＝.∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64＞0.由根与系数的关系得x1＋x2＝，①x1x2＝.②因为x轴是∠PBQ的平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0.③1将①②代入③并化简得8(b＋k)＝0，∴k＝－b，此时Δ＞0，∴y＝－bx＋b＝－b(x－1)，∴x＝1时，y＝0，故l过定点(1,0)．4．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)．△ABC的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．解析：(1)由题意得解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝.所以|AN|·|BM|＝·＝＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．2
