4.7正弦定理和余弦定理A组基础题组1.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为32,则b=()A.1+√32B.1+√3C.2+√32D.2+√3答案B由条件知12acsinB=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-√3ac,即b2=4b2-12-6√3,解得b1=b2=1+√3.2.如图,正三棱锥P-ABC的所有棱长都为4.点D,E,F分别在棱PA,PB,PC上,则满足DE=EF=3,DF=2的△DEF的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C令PD=x,PE=y,PF=z,则{x2+y2-xy=9,y2+z2-zy=9,z2+x2-xz=4,当x=z时,{x=z=2,y=1+√6,当x≠z时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在△ABC中,BC=2,AC=2√2,则A的最大值是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B由余弦定理,知cosA=c2+8-42c×2√2=14√2(c+4c)≥√22(当且仅当c=2时,取等号),故A的最大值为45°,故选B.4.(2017浙江台州调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-√3c=2acosC,sinC=√32,则△ABC的面积为()1A.√32B.√34C.√32或√34D.√3或√32答案C由正弦定理知,2sinB-√3sinC=2sinAcosC,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以cosA=√32,故A=30°.因为sinC=√32,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,由asinA=csinC,得c=√3,故S=12×√3×1×1=√32;当C=120°时,B=30°,此时b=a=1,故S=12×1×1×sin120°=√34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动,设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ,当点P不与B,C重合时()A.λ先变小再变大B.当M为线段BC中点时,λ最大C.λ先变大再变小D.λ是一个定值答案D设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1,r2,则2r1=ABsin∠APB,2r2=ACsin∠APC,因为∠APB+∠APC=180°,所以sin∠APB=sin∠APC,所以r1r2=ABAC,所以λ=r12r22=AB2AC2.故选D.6.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边,其面积满足S△ABC=14a2,则cb的最大值为()A.√2-1B.√2C.√2+1D.√2+22答案C根据题意,有S△ABC=14a2=12bcsinA,应用余弦定理,可得b2+c2-2bccosA=2bcsinA,令t=cb,于是t2+1-2tcosA=2tsinA.于是2tsinA+2tcosA=t2+1,所以2√2sin(A+π4)=t+1t,从而t+1t≤2√2,解得t的最大值为√2+1.7.(2017浙江测试)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2√3,C=π3,tanA=34,则sinA=,b=.答案35;4+√3解析由tanA=34得sinA=35,cosA=45,由正弦定理,得c=sinCsinAa=5,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴b=acosC+ccosA=4+√3.8.(2017浙江名校协作体)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c=,S=.答案6;15√74解析由题意可知,asinA=bsinB=bsin(π-3A)=bsin3A,所以asin3A=bsinA,即4(3sinA-4sin3A)=5sinA,整理得7=16sin2A,从而cos2A=916,即cosA=34.由正弦定理得,c=sinCsinA·a=2cosA·a=6.∴S=12bcsinA=12×5×6×√74=15√74.9.(2018杭州七校高三联考)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c,若△ABC的面积为S,且S=a2-(b-c)2,则sinA1-cosA=.答案43解析因为△ABC的面积为S,且S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=12bc·sinA,所以由余弦定理可得-2bc·cosA+2bc=12bc·sinA,所以4-4cosA=sinA,所以sinA1-cosA=4-4cosA1-cosA=4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csinA=√3acosC,则C=;若c=√31,△ABC的面积为3√32,则a+b=.答案π3;7解析由正弦定理可得sinCsinA=√3sinAcosC,因为sinA≠0,所以tanC=√3,所以C=π3.由12absinC=3√32,得ab=6.又由余弦定理得(√31)2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√2a,√3cosB=√2cosA,c=√3+1,则△ABC的面积为.答案√3+12解析由√3cosB=√2cosA,得√3·a2+c2-b22ac=√2·b2+c2-a22bc,又b=√2a,c=√3+1,所以上式可化简为a2=√3-1√3+1c2=2,所以a=√2,b=2.所以cosB=a2+c2-b22ac=√22,所以sinB=√1-cos2B=√22.故△ABC的面积S=12acsinB=12×√2×(√3+1)×√22=√3+12.412.(2017浙江宁波期末)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac,则边b所对的角B为;此时,若b=2√3,则⃗AB·⃗AC的最大值为.答案π3;6+4√3解析由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=12,∴...
