高考数学一轮复习 配餐作业34 数列求和与数列的综合应用（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

配餐作业(三十四)数列求和与数列的综合应用(时间：40分钟)1．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn。已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*。(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和。解析(1)由题意得则又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an。所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*。(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1。当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3。设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3。当n≥3时，Tn＝3＋－＝，所以Tn＝答案(1)an＝3n－1，n∈N*(2)Tn＝2．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63。(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列的前2n项和。解析(1)设数列{an}的公比为q。由已知，有－＝，解得q＝2，或q＝－1，又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1。所以an＝2n－1。(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列。设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2。答案(1)an＝2n－1(2)2n23．(2016·沈阳三模)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，a＝2,3sinC＝4sinB。(1)求b，c的值；(2)若等差数列{an}中a1＝a，a2＝b。①求数列{an}的通项公式；②设bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn。解析(1)在△ABC中，3sinC＝4sinB，由正弦定理可得，3c＝4b。a2＝b2＋c2－2bccosA＝c2＋c2－2··c·＝，又a＝2，所以c＝4，b＝3。(2)①设等差数列{an}的公差为d，由题有d＝a2－a1＝1，从而an＝n＋1。②当n为偶数时：Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－n＋n＋1)＝。当n为奇数时：Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－(n－1)＋n]－(n＋1)＝－(n＋1)＝－。所以Tn＝(k∈N*)。答案(1)b＝3，c＝4(2)①an＝n＋1②Tn＝(k∈N*)4．(2017·湟川中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝(2n－1，)，满足条件a∥b。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设函数f(x)＝x，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝。①求数列{bn}的通项公式；②设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn。解析(1)∵a∥b，∴Sn＝2n－1，Sn＝2n＋1－2。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式，∴an＝2n。(2)①∵f(x)＝x，f(bn＋1)＝，∴bn＋1＝，∴＝。∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1。又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n。②cn＝＝，Tn＝＋＋…＋＋，两边同乘得，Tn＝＋＋…＋＋，上述两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，∴Tn＝2－(n∈N*)。答案(1)an＝2n(2)①bn＝n②Tn＝2－(n∈N*)(时间：20分钟)1．(2016·河南五市二联)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q。(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝3bn－λ·2(λ∈R)，若{cn}满足cn＋1>cn对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围。解析(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设，得，∴q＝3或－4(舍)，d＝3，∴an＝3n，bn＝3n－1。(2)由(1)可知，cn＝3n－λ·2n，∴3n＋1－λ·2n＋1>3n－λ·2n即λ<2·n对任意的n∈N*恒成立，∵2·n≥2·1＝3，∴λ<3。答案(1)an＝3n，bn＝3n－1(2)(－∞，3)2．(2016·天津高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d。对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项。(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝(－1)kb，n∈N*，求证：<。证明(1)由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列。(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d·＝2d2n(n＋1)。所以＝＝＝·<。