小题考法专训(十)导数的简单应用A级——保分小题落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)等于()A.-eB.-1C.1D.e解析:选B因为f(x)=2xf′(1)+lnx,所以f′(x)=2f′(1)+,令x=1,得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.2.已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切(其中e为自然对数的底数),则实数a的值是()A.eB.2eC.1D.2解析:选C设切点为(x0,aex0+x0),由曲线y=aex+x,可得y′=aex+1,则切线的斜率k=y′|x=x0=aex0+1.令aex0+1=2可得x0=ln,则曲线在点(x0,aex0+x0),即处的切线方程为y-1-ln=2,整理可得2x-y-ln+1=0.结合题中所给的切线2x-y+1=0,得-ln+1=1,∴a=1.3.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则b的值为()A.3B.-3C.5D.-5解析:选A由题意知,3=k+1,∴k=2.又(x3+ax+b)′|x=1=(3x2+a)|x=1=3+a,∴3+a=2,∴a=-1,∴3=1-1+b,即b=3.4.(2019·河北九校第二次联考)函数y=x++2lnx的单调递减区间是()A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)解析:选B令y′=1-+<0,得-3<x<1,又x>0,故所求函数的单调递减区间为(0,1),故选B.5.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中大致为y=f(x)的图象的是()解析:选C当0<x<1时,xf′(x)<0,∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数;当x>1时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此排除A、B、D,故选C.6.若函数f(x)=kx-2lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[1,+∞)D.[2,+∞)解析:选D因为f(x)=kx-2lnx,所以f′(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以在区间(1,+∞)上f′(x)=k-≥0恒成立,即k≥恒成立,当x∈(1,+∞)时,0<<2,所以k≥2,故选D.7.若函数f(x)=x2+(a-1)x-alnx存在唯一的极值,且此极值不小于1,则a的取值范围为()A.B.C.D.(-1,0)∪解析:选B对函数求导得f′(x)=x+a-1-=,因为函数存在唯一的极值,所以导函数存在唯一的零点,且零点大于0,故x=1是唯一的极值点,此时-a≤0且f(1)=-+a≥1⇒a≥.故选B.8.(2020届高三·武汉调研)设曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l,则切线l与曲线C的公共点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:选Cy′=12x3-6x2-18x,所以切线l的斜率k=y′|x=1=-12,所以切线l的方程为12x+y-8=0.联立方程消去y,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,所以(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,所以x1=-2,x2=,x3=1,所以切线l与曲线C有3个公共点,故选C.9.已知函数f(x)=xlnx-aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.B.(0,e)C.D.(-∞,e)解析:选Af′(x)=lnx-aex+1,令f′(x)=0,得a=.若函数f(x)=xlnx-aex有两个极值点,则y=a和g(x)=在(0,+∞)上有2个交点,g′(x)=(x>0).令h(x)=-lnx-1,则h′(x)=--<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0,故x∈(0,1)时,h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)单调递减,故g(x)max=g(1)=,而x→0时,g(x)→-∞,x→+∞时,g(x)→0.若y=a和g(x)=在(0,+∞)上有2个交点,只需0<a<.10.已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sinx-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c解析:选A 函数f(x+1)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴a=f=f,b=f(3),c=f(0)=f(2).又 当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sinx-x,∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)=cosx-1≤0,即f(x)=sinx-x在(1,+∞)上为减函数,∴b<a<c.11.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对任意的实数x都有f(x)=4x2-f(-x),当x∈(-∞,0]时,f′(x)+<4x,若f(m+1)≤f(-m)+4m+2,则实数m的取值范围是()A.B.C.[-1,+∞)D.[-2,+∞)解析:选A令F(x)=f(x)-2x2,因...