课时分层作业(八)空间中的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为()A．B．2C．3D．4B[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝3，|BB′|＝2，|A′B′|＝5．又AB＝AA′＋A′B′＋B′B，所以|AB|2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即|AB|＝2．]2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A．B．C．D．A[PA＝(－2,0，－1)，|PA|＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝．]3．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A．1B．C．D．B[建立如图所示的坐标系A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，则AD1＝(－2,0,2)，CD1＝(0，－4,2)，ED1＝(－2，－2,2)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令y＝1，则z＝2，x＝2，∴n＝(2,1,2)，∴d＝＝＝．]14．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A．aB．aC．aD．aD[由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，CA1＝(a，－a，a)，BA＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a．]5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别在A1B、B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝B1D1，则EF与平面ABC1D1的距离为()A．aB．aC．aD．aB[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得E，F，故EF＝，BA＝(a,0,0)，BC1＝(0，a，a)．设n＝(x，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，由⇒令z＝1，得n＝(0，－1,1)． EF·n＝·(0，－1,1)＝0，∴EF⊥n，故EF∥平面ABC1D1．又BE＝，2∴BE·n＝·(0，－1,1)＝a，∴d＝＝a．]二、填空题6．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．2[设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，易得AC1＝a＋b＋c，则|AC1|2＝AC1·AC1＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|AC1|＝2．]7．已知棱长为1的正方体ABCDEFGH，若点P在正方体内部且满足AP＝AB＋AD＋AE，则点P到AB的距离为________．[建立如图所示的空间直角坐标系，则AP＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝．AB＝(1,0,0)，AP·＝，所以P点到AB的距离为d＝＝＝．]8．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．[建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，则C1A＝，C1B1＝(0,1,0)，C1B＝(0,1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，则有解得n＝，则所求距离为＝＝．]3三、解答题9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D．(1)求BP的长；(2)求点P到平面EC1D的距离．[解](1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，B(1,0,1)，D(0,2,1)，F(1，1,1)，E(0,1,0)，C1(1,2,0)，设P(a，b,1)，BP＝λBD，λ∈[0,1]，ED＝(0,1,1)，EC1＝(1,1,0)，BD＝(－1,2,0)，则BP＝(a－1，b,0)＝(－λ，2λ，0)，∴P(1－λ，2λ，1)，PF＝(λ，1－2λ，0)，设平面DEC1的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－1,1)， PF∥平面EC1D，∴PF·n＝λ－1＋2λ＝0，解得λ＝，∴P，∴BP的长|BP|＝＝．(2)由(1)得平面DEC1的法向量n＝(1，－1,1)，EP＝，∴点P到平面EC1D的距离：d＝＝＝．10．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上且不与点A，B重合，直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为O．(1)若M为AB的中点，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)若CE⊥MF，求AM的长度，并求此时点O到平面CDEF的距离．4[解](1)延...
