双基限时练(二十一)1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7解析a·b＝－3×5＋4×2＝－7，故选D.答案D2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－C.D．1解析由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.答案D3．若非零向量a，b，满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析AB＝(3，－1)，AC＝(－1，－3)，BC＝(－4，－2)，∴|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝.∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2＝20.∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.答案C5．已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为()A．±3B．±C．±9D．3解析cos＝＝，∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.答案D6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.解析不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－.答案D7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，∴a－c＝(3－k，－1)．又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，∴(a－c)·b＝0，1即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.∴k＝0，故应填0.答案08．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，∴λ<1.当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．答案(－∞，－4)∪(－4,1)9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.∴|a－2b|＝5.答案510．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)解析由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则b·(a－b)＝b·a－b2＝0，∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．答案[0,1]11．已知点A(－1,1)，点B(1,2)，若点C在直线y＝3x上，且AB⊥BC.求点C的坐标．解设C(x,3x)，则AB＝(2,1)，BC＝(x－1,3x－2)，所以2(x－1)＋3x－2＝0，所以x＝，所以C.12.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．(1)若λa－2b与a垂直，求λ的值；(2)若a－2kb与a＋b平行，求k的值．解(1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.(2)∵a－2kb＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，a＋b＝(3，－2)，且(a－2kb)∥(a＋b)，∴－2(1－4k)－3(1＋6k)＝0，∴k＝－.13．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦2值．解(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)，由AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，得AB⊥AD.∴AB⊥AD.(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC.设点C的坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，又AB＝(1,1)，∴∴∴C(0,5)．从而AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，且|AC|＝2，|BD|＝2，AC·BD＝8＋8＝16.设〈AC，BD〉＝θ，则cosθ＝＝＝.∴矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值为.3
