第64讲双曲线1．(经典真题)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(B)A．11B．9C．5D．3由题意知a＝3
由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9
2．(2018·银川三模)以直线y＝±x为渐近线的双曲线的离心率为(C)A．2B
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，或＝，所以c2＝4a2，或c2＝a2
所以e＝2，或e＝
3．(经典真题)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF20)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为____．如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以点A到l的距离d＝
又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，所以△MAN为等边三角形，所以d＝MA＝b，即＝b，所以a2＝3b2，所以e＝＝＝
10．已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为
(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M(0,1)，设P(x0，y0)是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求MP·MQ的取值范围．(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，故所求双曲线C的方程为－y2＝1
(2)依题意有：Q(－x0，－y0)，所以MP＝(x0，y0－1)，MQ＝(－x0，－y0－1)，所以MP·MQ＝－x－y＋1，又－y＝1，所以MP·MQ＝－x＋2，由－y＝1可得，x≥3，所以MP·MQ＝－x＋2≤－2
故MP·MQ的取值范围是(－∞，－2]．
