第64讲双曲线1．(经典真题)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(B)A．11B．9C．5D．3由题意知a＝3.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9.2．(2018·银川三模)以直线y＝±x为渐近线的双曲线的离心率为(C)A．2B.C．2或D.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，或＝，所以c2＝4a2，或c2＝a2.所以e＝2，或e＝.3．(经典真题)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(A)A．(－，)B．(－，)C．(－，)D．(－，)由题意知F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝3y－1<0，解得－0，b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－a)2＝相切，则该双曲线的离心率为(D)A．3B.C.D.渐近线方程为ax±by＝0，由条件d＝＝，即＝，所以c＝3b，所以a2＝c2－b2＝9b2－b2＝8b2，所以a＝2b.所以e＝＝＝.5．(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝2.不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．因为四边形OABC为正方形，|OA|＝2，所以c＝|OB|＝2，∠AOB＝.因为直线OA是渐近线，方程为y＝x，所以＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.6．(2018·湖北5月冲刺试题)平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6＋|PB|，则|PB|的最小值为__2__．以A，B所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由条件知P点轨迹是以A，B为焦点，2a＝6，2c＝10的双曲线的右支(如图)．当P为双曲线的右顶点时，|PB|取最小值，其最小值为c－a＝5－3＝2.7．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．(1)由已知c＝，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，又|F1F2|＝2，所以cos∠F1PF2＝＝＝.8．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(B)A.B．3C．2D．4由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.9．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为____．如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以点A到l的距离d＝.又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，所以△MAN为等边三角形，所以d＝MA＝b，即＝b，所以a2＝3b2，所以e＝＝＝.10．已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M(0,1)，设P(x0，y0)是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求MP·MQ的取值范围．(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，故所求双曲线C的方程为－y2＝1.(2)依题意有：Q(－x0，－y0)，所以MP＝(x0，y0－1)，MQ＝(－x0，－y0－1)，所以MP·MQ＝－x－y＋1，又－y＝1，所以MP·MQ＝－x＋2，由－y＝1可得，x≥3，所以MP·MQ＝－x＋2≤－2.故MP·MQ的取值范围是(－∞，－2]．
