1.2.2空间中的平面与空间向量课后篇巩固提升基础达标练1.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.答案B2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为μ,则能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)解析由l∥α,故a⊥μ,即a·μ=0,故选D.答案D3.(多选)因为v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项中,正确的是()A.n1∥n2⇔α∥βB.n1⊥n2⇔α⊥βC.v∥n1⇔l∥αD.v⊥n1⇔l∥α解析v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则n1∥n2⇔α∥β,n1⊥n2⇔α⊥β,,v∥n1⇔l⊥α,v⊥n1⇔l∥α或l⊂α.因此AB正确.答案AB4.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()A.10B.-10C.12D.-12解析因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.答案B5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是()A.直线ACB.直线B1D1C.直线A1D1D.直线A1A解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上, 点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,∴CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E, C1E⊥B1D1,由三垂线定理可得,CE⊥B1D1;在四边形AA1C1C中,C1C⊥AC,易得AC不可能和CE垂直; A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.答案B6.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=.解析由题知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.答案-97.若⃗AB=λ⃗CD+μ⃗CE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.答案AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=.解析由已知得,⃗AB=1,-3,-74,⃗AC=-2,-1,-74, a是平面α的一个法向量,∴a·⃗AB=0,a·⃗AC=0,即{x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得{x=23y,z=-43y,∴x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)解析DD1∥AA1,⃗AA1=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,⃗AD1=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,⃗AD=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),⃗AC1与平面B1CD不垂直,故④错误.答案①②③10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则⃗DC=12,1,0,⃗DS=-12,0,1,向量⃗AD=12,0,0是平面SBA的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则{n·⃗DC=12x+y=0,n·⃗DS=-12x+z=0,即{y=-12x,z=12x.取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.证法一 ⃗MN=⃗C1N−⃗C1M=12⃗C1B1−12⃗C1C=12¿)=12⃗DA1,∴⃗MN∥⃗DA1,∴MN∥平面A1BD.证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,12),N(12,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是⃗MN=(12,0,12),⃗DA1=(1,0,1),⃗DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则n·⃗DA1=0,且n·⃗DB=0,得{x+z=0,x+y=0.取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又⃗MN·n=(12,0,12)·(1,-1,-1)=0,∴⃗MN⊥n,且MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.证法三 ⃗MN=⃗C1N−⃗C1M=12⃗D1A1−12⃗D1D=12¿)-12¿)=12⃗DB+12⃗BA−12⃗D1A1−12⃗A1D=12⃗DB+12⃗DA1+12¿)=12⃗DB+12⃗DA1+12⃗BD=12⃗DA1.即⃗MN可以用⃗DA1与⃗DB线性表示,∴⃗MN与⃗DA1,⃗DB是共面向量,∴⃗M...
