第24练高考大题突破练—导数与方程[基础保分练]1
已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a
(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围
已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a≥1)
(1)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(2)当a＝1时，证明：函数f(x)只有一个零点
已知函数f(x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R
(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围
1[能力提升练]4
已知函数f(x)＝
(1)若函数g(x)＝xf(x)－a在(，＋∞)上存在零点，求a的取值范围；(2)若f(x2)>对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围
解(1)由题意知f′(x)＝2x－(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗2所以f(x)的极小值为f(1)＝1，无极大值
(2)因为k(x)＝f(x)－h(x)＝－2lnx＋x－a，所以k′(x)＝－＋1，x>0，令k′(x)＝0，得x＝2
当x∈[1,2)时，k′(x)0
故k(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，所以所以2－2ln21，∴2ax＋1>0，ax－1>0，∴f′(x)ae>a2
从而g(a)＝ea－a2，∴f(x)在(0，lna)和(lna，＋∞)上各有一个零点
综上讨论可知：当a>e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，＋∞)
能力提升练4
解(1)由题意得函数g(x)＝－a，g′(x)＝＝，x>0
设p(x)＝2lnx－1＋，则p′(x)＝－＝，当x∈(，＋∞)时，p′(x)>0，∴p(x)在(，＋∞)上
