第2章圆锥曲线与方程习题课(3)一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是()A.(±1,0)B.(0，±1)C.(±，0)D.(0，±)解析：本题考查椭圆的性质．由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.答案：D2．[2014·唐山一中月考]若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为()A.(，)B.(，＋∞)∪(－∞，)C.(，＋∞)D.(－∞，－)解析：本题考查椭圆的范围．因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<，故选B.答案：B3．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点验证即可．答案：D4．若焦点在x轴上的椭圆的方程是＋＝1，则该椭圆焦距的取值范围是()A.(0，)B.(0,6)C.(0,2)D.(0,12)解析：本题考查椭圆的方程特征．由题意，c＝，故0b>0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，又P在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝2b2，故e＝.答案：B6．如右图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.B．1－C.－1D.解析：由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.1答案：A二、填空题7．[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．又|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.由题意知，a＝2，b＝，∴c＝1.∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.答案：(x＋1)2＋y2＝168．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是__________，最小值是__________．解析：设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴kmax＝4，kmin＝3.答案：439．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝，从而e＝.答案：三、解答题10．[2014·四川省绵阳中学月考]求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝＝，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.11．如右图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.解：依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，2得yP＝.∴P.∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.∴e4＋e2－1＝0.∵0b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，AB·AP＝9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，|AB|＝|AP|.∵AB·AP＝9，∴|AB||AP|cos45°＝|AP|2cos45°＝9，∴|AP|＝3.(1)∵P(0,1)，∴|OP|＝1，|OA|＝2，即b＝2，且B(3,1)．∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：＋＝1，解得a2＝.∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.∴>1，即－1＝>0，∴所求t的取值范围是0
