高考数学一轮复习 课时分层训练67 几何概型 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层训练(六十七)几何概型A组基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈的概率为()A.B.C.D.C[由0≤sinx≤，且x∈[0，π]，解得x∈∪.故所求事件的概率P＝＝.]2．若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图1066A.B.C.D.B[设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.]3．(2018·深圳二调)设实数a∈(0,1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点的概率为()【导学号：79140364】A.B.C.D.D[由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a<1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P＝＝，故选D.]4．(2018·湖北调考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为()A.B.C.D.D[如图所示，设与y＝x平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线y＝x的距离相等，过点A作AE垂直于直线y＝x，垂足为E，当点A到直线y＝x的距离为1时，AE＝1，又CA＝2，则∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故选D.]5．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜VSABC的概率是()A.B.C.D.A[当点P到底面ABC的距离小于时，VPABC＜VSABC.由几何概型知，所求概率为P＝1－＝.]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2<4}，在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A.B.C.D.C[平面区域D1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D1与D2的公共部分是半径为2的圆，其面积为×π×22＝π，则所求概率为，故选C.]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.B.C.D.C[因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.]二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．图1067[如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.]10．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：79140365】图1068[由对称性，S阴影＝4(1－x2)dx＝4＝.又S正方形ABCD＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P＝＝.]B组能力提升11．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.＋πB.＋C.－D.－D[|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分．因为S圆＝π×12＝π，S阴影＝－×12＝.故所求事件的概率P＝＝＝－.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则()A．p1，则p1<