高中数学例谈导数法求解中点弦问题学法指导VIP免费

高中数学例谈导数法求解中点弦问题梁金国导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。一、方法介绍1.利用导数求解切线方程利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：y是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。如对圆()()xaybR222，两边对x求导，则有220()()'xaybyx，所以在切点（m，n）处的切线斜率kyxxmyn'|，－manb。从而求出切线方程是()()()()xamaybnbR2。类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。2.利用求导法求解中点弦问题如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。此时缩小的曲线方程如()()()xaybtR222，xtaytb22221()()±，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是yx'在中点处的值。图1二、应用举例1.求中点弦方程例1.已知双曲线方程22122xy()，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线l，使l与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。解：对2222xy两边求导，得420xyyx'（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率kyxxy'|214，，所以所求中点弦所在直线方程为yx142()（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率kyxxy'|112，，所以所求中点弦所在直线方程为yx121()即210xy。但与双曲线方程2222xy联立消去y得2430802xx，，无实根。因此直线l与双曲线无交点，所以满足条件的直线l不存在。注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。2.证明与中点弦有关的不等式例2.已知椭圆xaybab222210()，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P()x00，，求证：abaxaba22022。证明：设AB的中点是P（m，n），则中点P在椭圆内，所以ama①对椭圆xayb22221两边求导有22022xaybyx'，得yxbyax'22故中点弦AB的斜率kymbnaxxmyn'|，22，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：nmxnamb0022，得mxaab0222。代入①式得abaxaba22022。3.求与中点弦有关的轨迹问题例3.已知定点A（0，2），椭圆12122xy，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。解：设线段PQ的中点为M（x，y）。对椭圆12122xy两边求导，得xyyx20'所以PQ的斜率为kxy2。又kkAMPQ，所以yxxy212。化简即得xyy22240（在椭圆12122xy内的部分）。4.求与中点弦有关的对称问题例4.求抛物线yx2上不存在关于直线ymx()3对称的两点，求m的取值范围。解：（1）当m0时，曲线上不存在关于直线对称的两点。（2）当m≠0时，假设存在关于直线对称的两点，设这两点的中点为A（a，b），则A必在抛物线yx2内，所以ba2。①对yx2两边求导，得yxx'2，所以中点弦的斜率为kam21。②将点A（a，b）坐标代入ymx()3得bma()3③由①②③得1221032mm即()()2162102mmm又62102mm恒成立，所以m12故mm120()≠时满足题意。综上（1）（2），m取值范围是[)12，。