课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切函数一、基本能力达标1．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝()A.mB.(1－m)C.(m－1)D.(m＋1)解析：选Btan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)·(1－tan28°tan32°)＝(1－m)．2．已知＝2＋，则tan等于()A．2＋B．1C．2－D.解析：选Ctan＝＝＝2－.3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于()A.B.C.D.解析：选C∵tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan＝tan＝＝＝.4．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为()A．1B．2C．1＋D．1＋解析：选B∵tan45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，∴tan20°＋tan25°＝1－tan20°tan25°，∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°·tan25°＝1＋1－tan20°tan25°＋tan20°tan25°＝2.5．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋解析：选Dtan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.6．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.答案：37．tan＋tan＋tan·tan的值为________．解析：tan＋tan＋tan·tan＝tan＋tantan＝＋tan·tan＝.答案：8．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.解析：tanβ＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.答案：19．已知sin(π＋θ)＝－，tanφ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解：∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝.又θ是第二象限角，∴cosθ＝－＝－，∴tanθ＝＝－.又tanφ＝，∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.10．已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan(α＋β)及α＋β的值．解：∵tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，tan(α＋β)＝＝＝1.∵0＜α＜，π＜β＜，∴π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.二、综合能力提升1．在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选A由tanAtanB＞1，知tanA＞0，tanB＞0，从而A，B均为锐角．又tan(A＋B)＝＜0，即tanC＝－tan(A＋B)＞0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．2．已知tanα＝，则的值是()A．2B.C．－1D．－3解析：选B法一：因为tanα＝，所以tan＝＝＝3，所以＝＝.故选B.法二：＝＝tan＝tanα＝.故选B.3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()A．16B．8C．4D．2解析：选C由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)＝4.4．已知tanθ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q间的关系是()A．p＋q＋1＝0B．p－q－1＝0C．p＋q－1＝0D．p－q＋1＝0解析：选D由题意得tanθ＋tan＝－p，tanθtan＝q，而tan＝tan＝，从而1－q＝－p，即p－q＋1＝0.5．已知点P落在角θ的终边上，则tan的值为________．解析：依题意，tanθ＝＝－1.∴tan＝＝＝2－.答案：2－6．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________.解析：由已知得：sinθcos24°＋cosθsin24°＝cos24°cosθ＋sinθsin24°⇒(sinθ－cosθ)(cos24°－sin24°)＝0⇒sinθ＝cosθ⇒tanθ＝1，∴tan(θ＋60°)＝＝－2－.答案：－2－7．已知cosα＝，α∈(0，π)，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)．解：∵cosα＝>0，α∈(0，π)，∴α∈，sinα>0.∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝2.8．是否存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β，使得①α＋2β＝，②tan·tanβ＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.又tantanβ＝2－，所以tan＋tanβ＝3－，因此tan，tanβ可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解得：x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．所以tan＝2－，tanβ＝1，所以α＝，β＝.所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
