4.3.1平面图形的面积4.3.2简单几何体的体积(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为()A.[f(x)－g(x)]dxB.[g(x)－f(x)]dxC.|f(x)－g(x)|dxD.【解析】当f(x)>g(x)时，所求面积为[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)时，所求面积为[g(x)－f(x)]dx.综上，所求面积为|f(x)－g(x)|dx.【答案】C2.由抛物线y＝x2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.πB.πC.πD.π【解析】V＝π(x2)2dx＝x5＝π.【答案】D3.如图434，阴影部分的面积是()图434A.2B.2－C.D.【解析】S＝(3－x2－2x)dx＝＝.【答案】C4.曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于()A.B.C.1D.【解析】函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y轴对称，故所求面积为S＝2(1－x2)dx＝2＝2×＝.【答案】D5.由xy＝4，x＝1，x＝4，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是(1)A.6πB.12πC.24πD.3π【解析】因为xy＝4，所以y＝，V＝πy2dx＝πdx＝16πx－2dx＝－16πx－1＝－16π＝12π.【答案】B二、填空题6.由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【解析】画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(－x3)dx.【答案】(－x3)dx7.由曲线y＝e，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】体积V＝πexdx＝π(e－1).【答案】π(e－1)8.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________.【解析】由得其交点坐标为(4，2).因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为＝(－x＋2)dx＝＝×8－×16＋2×4＝.【答案】三、解答题9.(2016·济宁高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像如图435所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.图435【解】由题图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，所以f(x)＝x2(x＋a)，有＝[0－(x3＋ax2)]dx＝－＝，所以a＝±3.又－a>0⇒a<0，得a＝－3.10.设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求：(1)M的面积；(2)将M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.2【解】如图，M为图中阴影部分.(1)图中M的面积为[(－x2＋2x)－x2]dx＝(－2x2＋2x)dx＝＝.(2)M绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为π[(－x2＋2x)2－(x2)2]dx＝π(－4x3＋4x2)dx＝π·＝.[能力提升]1.直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B.2C.D.【解析】∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0，1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图像和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S＝4－2dx＝4－2·＝4－＝.【答案】C2.已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为()A.y＝axB.y＝±axC.y＝－axD.y＝－5ax【解析】显然，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y＝kx，由得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，所以图形面积S＝[kx－(x2－2ax)]dx＝＝－＝.又因为S＝a3，所以＝a3，解得k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.故选A.【答案】A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y＝与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得3到的，则球的体积为________.【解析】V＝π(1－x2)dx＝π(1－x2)dx＝π＝π＝π.【答案】π4.已知曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.【解】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y′＝6x2－6x－2，所以有解得x0＝0，于是切线l的斜率k＝－2，方程为y＝－2，即y＝－2x＋1.解方程组得或故切线l与曲线C围成图形的面积为S＝|2x3－3x2－2x＋1－(－2x＋1)|dx＝|2x3－3x2|dx＝，即所求面积为.4
