2.5平面向量应用举例A级基础巩固一、选择题1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(1，2)解析：为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量，所以F4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2)．答案：D2．平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：由题意知a－b＝d－c，所以BA＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．答案：D3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A．100焦耳B．50焦耳C．50焦耳D．200焦耳解析：设小车位移为s，则|s|＝10米WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50(焦耳)．答案：B4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为()A．5NB．5NC．10ND．5N解析：根据题意作出示意图，如图所示，有|F1|＝|F|·cos60°＝10×＝5(N)．答案：B5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是()1A.B.C.D.解析：由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.答案：C二、填空题6．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，所以|υ2|＝＝＝5(km/h)．答案：57．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB·AC＝4×4·cosA＝8，所以cosA＝，所以∠A＝，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形8．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．解析：由F1＋F2＋F3＝0，可得F1＋F2＝－F3，所以(－F3)2＝(F1＋F2)2，化简可得：F＝F＋F＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所以2F1·F2＝－1，所以|F1－F2|＝＝＝＝.答案：三、解答题9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.因为AD＝，CE＝.所以AD·CE＝－a·a＋·a＝0，所以AD⊥CE，即AD⊥CE.10．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少(取重力加速度大小为10m/s2)?解：如图所示，设木块的位移为s，2则：F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×＝500(J)．将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2.则|f1|＝|F|sin30°＝50×＝25(N)．所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)．因此f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．故力F和摩擦力f所做的功分别为500J和－22J.B级能力提升1．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(PB－PC)·(OB＋OC)＝(PC－PA)·(OA＋OC)＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：因为(PB－PC)·(OB＋OC)＝0，则(OB－OC)·(OB＋OC)＝0，所以OB2－OC2＝0，所以|OB|＝|OC|.同理可得|OA|＝|OC|，即|OA|＝|OB|＝|OC|.所以O为△ABC的外心．答案：B2．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为，为使所走路程最短，小船应朝________________的方向行驶．解析：如图所示，为使小船所走路程最短，那么v水＋v船应与河岸垂直．又|v水|＝|AB|＝1，|v船|＝|AC|＝，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝45°.答案：与水速成135°角3.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，3所以M(8，4)，N(4，2)．设点E(e，0)，则AM＝(8，4)，AN＝(4，2)，AE＝(e，0)，EN＝(4－e，2)，由AM⊥EN得AM·EN＝0，即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即|AE|＝5.所以S△AEM＝|AE||BM|＝×5×4＝10.4
