高中数学 第三章 不等式 3.1 基本不等式巩固提升训练（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.1基本不等式[A基础达标]1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为()A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B.2．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不确定解析：选A.因为a＞2，所以a－2＞0.又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，所以2－b2＜2.所以22－b2＜4，即n＜4.所以n∈(0，4)，综上易知m＞n.3．下列不等式中正确的是()A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：选D.若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则＜，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是()A．s＝B．s≤C．s>D．s≥解析：选B.由已知得(1＋s%)2＝(1＋p%)(1＋q%)≤＝，于是1＋s%≤1＋.故s≤.5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y＞0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为()A．M＜N＜PB．N＜P＜MC．P＜M＜ND．P＜N＜M解析：选D.由基本不等式可知≥＝()x＋y＝3≥3，因为x≠y，所以等号不成立，故P＜N＜M.6．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．解析：因为a＜1，即a－1＜0，所以－＝(1－a)＋1≥2＝2.即a＋≤－1.答案：a＋≤－17．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.答案：≤8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，又a>0，所以a>1，因为t>0，所以≥，所以loga≥loga＝logat.答案：≤9．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x1≠x2时，比较f与的大小．解：因为f(x)＝ax，所以f＝a，[f(x1)＋f(x2)]＝(ax1＋ax2)．因为a>0且a≠1，x1≠x2，所以ax1>0，ax2>0，且ax1≠ax2，所以(ax1＋ax2)>＝a，即f<[f(x1)＋f(x2)]．10．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3.证明：＋＋＝＋＋＋＋＋－3＝＋＋－3.因为a，b，c都是正数，所以＋≥2＝2，同理＋≥2，＋≥2，所以＋＋≥6.因为a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，所以＋＋＞6，所以＋＋＞3.[B能力提升]11．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：选D.因为2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，所以2≤1，所以2x＋y≤＝2－2，所以x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．12．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．2解析：原式等价于x＋y＋3＝xy≤(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.14．(选做题)是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论．解：当x＝y时，由已知不等式得c＝.下面分两部分给出证明：(1)先证＋≤，此不等式⇔3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．(2)再证＋≥，此不等式⇔3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．综上可知，存在常数c＝，对任意的实数x，y使题中的不等式成立．3