3.3空间两点间的距离公式课时跟踪检测一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|＝()A．10B．C．D．38解析：B(2，－3，－5)，|AB|＝＝10.答案：A2．已知点A(1,1，a)，B(0,2,0)，且|AB|＝3，则a的值为()A．7B．C．－D．±解析：|AB|＝＝＝3，∴a2＝7，a＝±.答案：D3．在空间直角坐标系中，点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为2，则点P的坐标为()A．(0,1,0)或(0，－1,0)B．(1,0,0)C．(1,0,0)或(－1,0,0)D．(0,1,0)或(0,0,1)解析：设P(x,0,0)，∵|PP1|＝2，即＝2，解得x2＝1，x＝±1.∴P(1,0,0)或(－1,0,0)．答案：C4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：|AB|＝＝|BC|＝＝|AC|＝＝，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.所以△ABC为直角三角形．答案：C5．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于()A．28B．－28C．14D．－14解析：因为AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°.所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146|AB|2＝44|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.答案：D6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当A，B两点间距离取最小值时，x的值为()A．19B．－C．D．解析：|AB|＝＝＝，当x＝时|AB|取得最小值．答案：C二、填空题7．在空间直角坐标系中，点A(1,1,3)与点B(1，－3,0)的距离为________．解析：|AB|＝＝＝5.答案：58．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0,0,0)到点(x，y，z)的距离的平方，则点(0,0,0)到(3,4，－5)的距离d＝＝5，则x2＋y2＋z2的最小值为(5－)2＝(4)2＝32.答案：329．正方体不在同一表面上的两顶点P(－1,2，－1)，Q(3，－2，3)，则正方体的体积是________．解析：由题意可知PQ为正方体的一条对角线，且|PQ|＝4，∴棱长为4，体积为64.答案：64三、解答题10．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．解：(1)由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以点P的坐标为P(1,0,0)．(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，由|MA|＝|MB|得＝，即x＋3z－1＝0.所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长．解：如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵CA＝CB＝1，AA1＝2，∴A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，A(1,0,0)，∴M，N(1,0,1)．∴|MN|＝＝＝.12．已知点A(2,3,1)，B(－1,2，－3)，点P在y轴上，求|PA|2＋|PB|2的最小值以及此时点P的坐标．解：设P(0，t,0)，则|PA|2＋|PB|2＝(0－2)2＋(t－3)2＋(0－1)2＋(0＋1)2＋(t－2)2＋(0＋3)2＝2t2－10t＋28＝22＋.当t＝时|PA|2＋|PB|2有最小值.此时P.13．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点，探求|PQ|的最小值．解：如图，过P作PE⊥OA于E，则PE⊥平面xOy，设P的横坐标为x，由正方体性质得点P的纵坐标为x，取正方体棱长为1，则AE＝(1－x)．∵＝，∴PE＝＝1－x(0≤x≤1)．∴P点坐标为(x，x,1－x)，又Q，∴|PQ|＝＝＝，当x＝时|PQ|min＝，此时点P坐标为.即P为AB中点时|PQ|有最小值.
