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(江苏专用)高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和文1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.3.等比中项若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.6.等比数列前n项和的性质公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为__qn__.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(×)(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(×)(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(×)(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.(×)(5)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(×)(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(×)1.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=________.答案42解析设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.2.等差数列{an}的公差为3,若a2,a4,a8成等比数列,则a4=________.答案121解析令首项为a,根据已知条件有(a+9)2=(a+3)·(a+21).解得a=3,所以a4=3+3×3=12.3.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于________.答案4解析数列{lgan}的前8项和S8=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a1·a8)4=lg(a4·a5)4=lg(2×5)4=4.4.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.答案2n-1解析由等比数列性质知a2a3=a1a4,又a2a3=8,a1+a4=9,所以联立方程解得或又 数列{an}为递增数列,∴a1=1,a4=8,从而a1q3=8,∴q=2.∴数列{an}的前n项和为Sn==2n-1.5.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.答案27,81解析设该数列的公比为q,由题意知,243=9×q3,q3=27,∴q=3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=________.(2)在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________.答案(1)(2)4或-4解析(1)显然公比q≠1,由题意得解得或(舍去),∴S5===.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则两式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.所以或故a3=4或a3=-4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则=________.(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.答案(1)(2)3n-1解析(1)设公比为q,则由题意知0<q<1,2由得a4=3,a6=2,所以==.(2)由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明由a1=1及Sn+1=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2.∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.又①-②...

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