第一讲第二节第四课时圆的极坐标方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A．ρ＝1B．ρ＝cosθC．ρ＝2cosθD．ρ＝2sinθ解析：由题意知圆的极坐标方程为ρ＝2rcosθ＝2·1·cosθ即ρ＝2cosθ故选C．答案：C2．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是()A．2B．C．1D．解析：直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是和，这两点间的距离是.答案：D3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是()解析：∵ρ＝2sin＝2sinθ·cos＋2cosθ·sin＝(sinθ＋cosθ)，∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，∴x2＋y2＝x＋y，∴2＋2＝1，∴圆心.结合题中四个图形，可知选C项．答案：C4．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρsinθ＝解析：如右图，Rt△OAC中，OC＝＝＝2.设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，1则ρcosθ＝2.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是________.解析：两边同乘ρ，则ρ2＝·ρcosθ＋ρsinθ，则x2＋y2－x－y＝0，从而圆心.化为极坐标为.答案：6．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q，使＝，则点Q的轨迹方程为________.解析：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，∴ρ0＝ρ，ρ0＝2cosθ0，则有ρ＝2cosθ，所以ρ＝5cosθ.答案：ρ＝5cosθ三、解答题(每小题10分，共20分)7．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．解析：∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36又∵ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ(cosθcos＋sinθsin)，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.8．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解析：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.☆☆☆9．(10分)如下图所示，根据指令(r，θ)(r≥0，－180°≤θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转|θ|)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.2(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移到点(4,4)；(2)机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)．解析：(1)求得r＝4，θ＝45°，故指令为(4，45°)．(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有|17－x|＝2.即3x2＋2x－161＝0，得x＝－或x＝7，因为要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，所以x＝7，故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球，所给的指令为(5，－98.13°)．3
