3定积分的简单应用[A组基础巩固]1．曲线y＝x3与直线y＝x所围图形的面积等于()A.(x－x3)dxB.x3－x)dxC．2(x－x3)dxD．2(x－x3)dx解析：∵y＝x3，y＝x为奇函数，且x≥0时交于(0,0)、(1,1)，∴围成面积为2(x－x3)dx.答案：C2.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.(x2－1)dxB．|(x2－1)dx|C.|x2－1|dxD.(x2－1)dx＋(x2－1)dx解析：分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对应另一块，积分值为正，∴有－(x2－1)dx＋(x2－1)dx＝|x2－1|dx.答案：C3．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c的大小关系是()A．a
a>c.答案：D4．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成图形的面积为()A．2B.C.D.解析：S＝－(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx＝－＋＝＋＝2.答案：A5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.1解析：阴影部分的面积为(－x)dx＝＝，故所求的概率P＝＝，故选C.答案：C6．如图所示一个质点做直线运动的vt图像，则质点在前6s内的位移为________．答案：97．如图所示，图中阴影部分的面积为________．答案：S＝f(x)dx＋g(x)dx－y(x)dx.8．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为________．解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.由，得两切线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－(－x3＋2x2－3x)|＝2－＝.答案：9．求曲线x＝3y2和直线y＝x－2所围成的平面图形的面积．解析：由解得交点坐标为(3,1)和(，－)，则对应变量y的变化区间为[－，1]于是所求面积S＝＝(y2＋2y－y3)|＝.10．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(00)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C．1D.解析：由得A(0,0)，B(，)，S＝(x2－cx3)dx＝(x3－cx4)|＝·＝，∴c＝.答案：B3．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是________．解析：因为sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，又S矩形＝2π，所以所投的点落在阴影部分的概率是P＝＝.答案：4．已知a∈[0，]，当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.解析：(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)3＝sina＋cosa－1＝sin－1，当a＝时，(cosx－sinx)dx取最大值－1.答案：5．给定直角边为2的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．解析：在平面直角坐标系中，直角边为2的等腰直角三角形可以看成是由直线y＝x，x＝2以及x轴所围成的平面图形．则旋转体的体积V＝πx2dx＝x3|＝.6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，∴抛物线与x轴所围图形的面积为S＝(x－x2)dx＝(－)|＝－＝.又解得两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，∴＝∫(x－x2－kx)dx＝(x2－)|＝(1－k)3.又S＝，∴(1－k)3＝.∴(1－k)3＝.∴k＝1－＝1－.45
