课时跟踪检测（十九）平面向量的坐标一、基本能力达标1．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)，则2a＋b＝()A．(7,8)B．(3,5)C．(9,8)D．(7,4)解析：选A2a＋b＝2(4,3)＋(－1,2)＝(8－1,6＋2)＝(7,8)．2．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是()A．a－c与b共线B．b＋c与a共线C．a与b－c共线D．a＋b与c共线解析：选C b＝(5,7)，c＝(2,4)，∴b－c＝(3,3)，∴b－c＝a，∴a与b－c共线．3．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝()A．(－3,4)B．(5，－12)C．(1，－4)D．(－4,8)解析：选A联立①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a＝(－3,4)．4．已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)．则m＝()A．2B．－2C．－3D．3解析：选C因为a＋b＝(2，m＋1)，所以－(m＋1)＝2，解得m＝－3.5．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：选D a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．6．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.解析： A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，∴＝(2,3)，＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)7．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.解析： a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝.答案：8．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．解析： ＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)． ∥，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：09．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解： b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝.又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，∴⇒即A点坐标为(8，－10)．10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？解： a＝(1,2)，b＝(－3,2)，∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，∴当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反．二、综合能力提升1．已知向量AB＝(2,4)，AC＝(0,2)，则BC＝()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(1,1)D．(－1，－1)解析：选DBC＝(AC－AB)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()A．－B.C.D．－解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)， a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.3．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为()A．(－14,16)B．(22，－11)C．(6,1)D．(2,4)解析：选D设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，由＝－2得所以4．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．45°B．30°C．60°D．15°解析：选A由a∥b，得－2×－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sinθ＝±，又θ为锐角，∴sinθ＝，θ＝45°，故选A.5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－16．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.解析：－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb...
