解析几何中的临界问题初探范彩霞一、在直线与圆的位置关系中，相切是相离与相交的临界状态；在圆与圆的位置关系中外切是相离与相交的临界状态，内切是相交与内含的临界状态，所以相交的条件是。例1.圆M：上到直线的距离为的点有_______个。解：圆的标准方程为，圆心坐标为M（-1，-2），半径，圆心M到直线的距离为。所以过点M与直线平行的直线与圆的两个交点A、B到直线的距离为，设过点M与直线垂直的直线交圆于点C，由可知点C到直线的距离也为。所以符合题意的点有三个。注：本题并没有体现出临界状态的作用，但只要我们深入分析，就会发现本题的妙处。以交点的个数为研究的主体，当直线向远离点M的方向移动时，符合题意的点会依次出现2个、1个、0个；反之，直线向着点M的方向移动时，符合题意的点会依次出现4个、3个、2个、1个、0个，规律性很强，其中1个和3个就是个数变化的分界点。本题若变为：圆M：上到直线的距离为的点有2个，则m的取值范围是_________。简析：由上述分析可知，要考虑“1个和3个”这两种临界状态。只有一个点符合题意时，即圆心M到直线的距离为，求得。有三个点符合题意时圆心M到直线的距离为，求得或5。结合图象可知m的范围是或。思考：（1）如果把例题中圆的方程变为呢？变为呢？（2）如果圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是_________（3）若圆C：上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的倾斜角的范围是_________。A.B.C.D.简析：圆的标准方程为，圆心坐标为C（2，2），半径，直线l：变形为直线，即直线过原点。要满足题意的要求，只需让圆心到直线的距离小于或等于，所以考虑等于这种临界状态即可。过圆心做直线l：的垂线，垂足为M，则，又，所以。直线OC的倾斜角为，由图像及对称性可知与圆心距离等于的直线的倾斜角为，可得直线l的倾斜角的范围是用心爱心专心二、在直线与圆锥曲线的位置关系中，有一个交点是没有交点和只有一个交点的临界状态，当交点个数无法确定时，可先考虑一个交点这种临界状态。例2.当的解有_______个。分析：构造两条曲线：由得作出其图像（两条半抛物线），问题转化为研究两条曲线的交点的个数的问题。由图像可知，当时，一定有一个交点，因此只需看的交点个数。考虑一种临界状态，即只有一个交点的情况：由消去y得由。结合k的范围有两个交点。答案：3个。注：本题就是通过研究临界状态找到问题的突破口。通过这些临界问题的分析可以提高解题思维的灵活性，深入理解曲线之间的位置关系，提高解题能力。用心爱心专心
