（江苏专用）高考数学一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第35课 等比数列及其前n项和教师用书-人教版高三全册数学试题VIP免费

第35课等比数列及其前n项和[最新考纲]内容要求ABC等比数列√1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N＋，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝a；(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知等比数列{an}的公比为－，则的值是____________．－2[＝＝－2.]3．(2017·扬州期末)已知等比数列{an}满足a2＋2a1＝4，a＝a5，则该数列的前5项和为____________．31[ {an}是等比数列，由得解得∴S5＝＝＝31.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数1为__________．27,81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6[ a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又 Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.]等比数列的基本运算(1)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝____________.(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．(1)128(2)2n－1[(1) {an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4， a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，∴q＝－或q＝2. an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.][规律方法]1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1](1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为____________．(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝__________.【导学号：62172190】(1)1或－(2)28[(1)根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.]等比数列的判定与证明设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2，2∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是首项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2.[规律方法]等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数...