第40练平面向量小题综合练[基础保分练]1.如图，点O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①AD与AB；②AD与BC；③OA与OC；④CA与DC，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.(2019·苏州模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若(a＋b)∥(4b－2a)，则实数x的值是________.3.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k＝________.4.给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a是单位向量，则|a|＝1；③a与b不平行，则a与b都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设BA＝a，BD＝b，则BC＝________.6.两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量b与a＋b的夹角为________.7.如图所示，在△ABC中，AD＝AC，P是BD上的一点，若AP＝mAB＋AC则，实数m的值为__________.8.已知△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，M为AB边上的中点，则CM·CA＋CM·CB＝________.19.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________.10.已知△OAB是边长为1的正三角形，若点P满足OP＝(2－t)OA＋tOB(t∈R)，则|AP|的最小值为________.[能力提升练]1.(2018·南通调研)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是________.2.在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任一点，若AP＝mAB＋nAC(m>0，n>0)，则＋的最小值是________.3.已知△ABD是等边三角形，且AB＋AD＝AC，|CD|＝3，那么四边形ABCD的面积为________.4.在△ABC中，D为边BC的中点，动点E在线段AD上移动时，若BE＝λBA＋μBC，则s＝λ·μ的最大值为________.5.(2018·盐城模拟)在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝DC，点列Pn(n∈N*)在直线AC上，且满足PnA＝an＋1PnB＋anPnD，若a1＝1，则数列{an}的通项an＝________.6.(2018·南京模拟)△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝3a，AC＝3a＋b，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①b为单位向量；②a为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(6a＋b)⊥BC.2答案精析基础保分练1.①④2.23.－34.②③5.a＋b6.7.8.509.内心10.解析以O为原点，以OB为x轴，建立平面直角坐标系，∵△AOB为边长为1的正三角形，∴A，B(1,0)，OP＝(2－t)OA＋tOB＝，AP＝OP－OA＝，|AP|＝＝＝≥.能力提升练1.2解析2＝c2＋t2a2＋b2＋2tc·a＋c·b＋2a·b＝c2＋t2＋＋2t＋.∵c·a＝c·b＝1，∴c·(a－b)＝0，∴|c|＝，则2＝2＋2.令t＋＝m≥2(当且仅当t＝1时，取等号)，∴2＋2＝(m＋1)2－1≥8，∴≥2.2.12解析由题意可知AP＝mAB＋nAC＝mAB＋3nAE，P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，据此有＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时等号成立.综上可得＋的最小值是12.3.解析取AD的中点E，连结CE，BE，则四边形ABCE为平行四边形，如图所示，3则有AE＝BC，又AE＝ED，∴BC＝ED，∴四边形BCDE为平行四边形，又BE为等边△ABD的中线，∴BE⊥AD，∴平行四边形BCDE是矩形，∴四边形ABCD是直角梯形.又BE＝CD＝3，∴AD＝2，BC＝AD＝，∴四边形ABCD的面积为S＝(BC＋AD)·CD＝×(＋2)×3＝.4.解析因为A，D，E共线，故存在0≤t≤1，使得BE＝tBA＋(1－t)BD＝tBA＋BC，而BE＝λBA＋μBC且BA，BC不共线，所以λ＝t，μ＝(1－t)，消去t得到λ＋2μ＝1.s＝λμ＝(1－2μ)μ＝－22＋，μ∈，当μ＝时，s有最大值.5.n－1解析由BD＝DC，可知D为BC的中点，∴PnD＝PnB＋BD＝BC－BPn，∵PnA＝PnB＋BA＝an＋1PnB＋anPnD，∴BA－BPn＝an＋1PnB＋an，∴BA＝(1－an＋1－an)BPn＋anBC，又点列Pn(n∈N*)在直线AC上，即A，Pn，C三点共线，∴1－an＋1－an＋an＝1，∴an＋1＝－an，∴数列{an}是以a1＝1为首项，－为公比的等比数列，∴an＝n－1.6.②④⑤解析因为△ABC是边长为3的等边三角形，向量a，b满足AB＝3a，AC＝3a＋b，则a＝AB，所以|a|＝|AB|＝1，因此a为单位向量，故②正确；又AC＝AB＋BC＝3a＋b，所以BC＝b，4因此|b|＝|BC|＝3，故①不正确；对于③，由AC＝3a＋b可得AC2＝9a2＋b2＋6a·b，故9＝9＋9＋6a·b，可得a·b＝－≠0，所以a⊥b不成立，故③不正确；对于④，由AB＝3a，AC＝3a＋b，得BC＝AC－AB＝b，所以b∥BC，故④正确；对于⑤，因为(6a＋b)·BC＝(6a＋b)·b＝6a·b＋b2＝6×＋9＝0，所以(6a＋b)⊥BC，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.5
