高考数学 考点56 不等式选讲试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点56不等式选讲【考纲要求】1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a．3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．【命题规律】不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.【典型高考试题变式】（一）绝对值不等式的解法例1.【2017新课标1】已知函数，.（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求实数a的取值范围.【分析】（1）将代入，不等式等价于，对按，，讨论，得出不等式的解集；（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，从而得.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【解析】（1）原不等式可化为：，即或，由得或，由得或，综上原不等式的解为或.（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【变式2】【2017湖北省荆州市质检】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，，，上述不等式可化为或或解得或或所以或或，所以原不等式的解集为（二）不等式的证明例2.【2017年新课标2】已知．证明：（1）；（2）．【分析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．【解析】（1）（2）因为所以，因此．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．【变式1】若a>0，b>0，且＋＝．（1）求a3＋b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．【变式2】【2017河北邯郸联考】设．（1）求的解集；（2）当时，求证：．【解析】（1）由得：或或，解得，所以的解集为.（2）当，即时，要证，即证.因为，所以，即.（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题例3.【2017新课标3】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.【分析】（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）由题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是.【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得.所以的解集为.（2）由得，而，且当时，.故实数m的取值范围为.【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.【变式1】【2018河南中原名校质检】已知关于的不等式.（1）当时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【解析】（1）原不等式变为.当时，原不等式化为，解得，所以当时，原不等式化为，所以.当时，原不等式化为，解得，所以.综上，原不等式解集为.【变式2】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【解析】（1）原不等式等价于或或解得4，所以a<－3或a>5，所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化...