课时作业33数列的综合应用1．已知数列{an}为等差数列，且满足OA＝a3OB＋a2015OC，其中点A，B，C在一条直线上，点O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017的值为(A)A．B．2017C．2018D．2015解析：因为点A，B，C在一条直线上，所以a3＋a2015＝1，则S2017＝＝＝，故选A.2．某制药厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝(n＋1)(n＋2)(2n＋3)吨，但如果年产量超过130吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(C)A．5年B．6年C．7年D．8年解析：由题意知第一年产量为a1＝×2×3×5＝10；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝(n＋1)(n＋2)(2n＋3)－n·(n＋1)(2n＋1)＝2(n＋1)2(n∈N*)，令2(n＋1)2≤130，所以1≤n≤－1，所以1≤n≤7.故最长的生产期限为7年．3．定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称{an}为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”．在“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2017项的和S2017的最小值为(C)A．－2017B．－3014C．－3022D．3032解析：依题意，要使其前2017项的和S2017的值最小，只需每一项都取最小值即可．因为|an＋1|＋|an|＝3，所以有－a3－a2＝－a5－a4＝…＝－a2017－a2016＝3，即a3＋a2＝a5＋a4＝…＝a2017＋a2016＝－3，所以S2017的最小值为2＋×(－3)＝－3022，故选C.4．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2015a2016＞1，＜0.给出下列结论：(1)0＜q＜1；(2)a2015a2017－1＞0；(3)T2016的值是Tn中最大的；(4)使Tn＞1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为(C)A．(1)(3)B．(2)(3)C．(1)(4)D．(2)(4)解析：由＜0可知a2015＜1或a2016＜1.如果a2015＜1，那么a2016＞1，若a2015＜0，则q＜0；又 a2016＝a1q2015，∴a2016应与a1异号，即a2016＜0，这与假设矛盾，故q＞0.若q≥1，则a2015＞1且a2016＞1，与推出的结论矛盾，故0＜q＜1，故(1)正确．又a2015a2017＝a＜1，故(2)错误．由结论(1)可知a2015＞1，a2016＜1，故数列从第2016项开始小于1，则T2015最大，故(3)错误．由结论(1)可知数列从第2016项开始小于1，而Tn＝a1a2a3…an，故当Tn＝(a2015)n时，求得Tn＞1对应的自然数为4030，故(4)正确．5．(2019·太原模拟)已知数列{an}中，a1＝0，an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，若数列{bn}满足bn＝n··n－1，则数列{bn}的最大项为第6项．解析：由a1＝0，且an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，得an－an－1＝2n－1(n≥2)，则a2－a1＝2×2－1，a3－a2＝2×3－1，a4－a3＝2×4－1，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，以上各式累加得an＝2(2＋3＋…＋n)－(n－1)＝2×－n＋1＝n2－1(n≥2)，当n＝1时，上式仍成立，所以bn＝n··n－1＝n··n－1＝(n2＋n)·n－1(n∈N*)．由得解得≤n≤.因为n∈N*，所以n＝6，所以数列{bn}的最大项为第6项．6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f(n)＝q－p，例如f(12)＝4－3＝1，数列{f(3n)}的前100项和为350－1.解析：当n为偶数时，f(3n)＝0；当n为奇数时，f(3n)＝3－3，因此数列{f(3n)}的前100项和为31－30＋32－31＋…＋350－349＝350－1.7．(2019·长沙、南昌联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝1，an＞0，a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)，若不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an对任意的n∈N*恒成立，则整数m的最大值为(B)A．3B．4C．5D．6解析：当n≥2时，两式相减得a－a＝4an＋4，即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，又an＞0，所以an＋1＝an＋2(n≥2)．对a＝4Sn＋4n＋1，令n＝1，可得a＝4a1＋4＋1＝9，所以a2＝3，则a2－a1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，故an＝2n－1.因为4n2－8n＋3＝(2n－1)(2n－3)，n∈N*,2n－1＞0，所以不等式4n2－8n＋3＜(5－m)2n·an等价于5－m＞.记bn＝，则＝＝，当n≥3时，＜1，又b1＝－，b2＝，b3＝，所以(bn)max＝b3＝.故...
