考点31数列的综合问题1．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满足：，.若成等差数列，，，则=__________.【答案】1【解析】根据题意,数列{an}满足：a1=3,(n⩾2)，则a2=2a13=2×33=3−−，a3=2a23=2×3+3=9−，a4=2a3+3=2×93=15−，其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，又由{ak1}是等差数列,且k1=1，则有k2=3,k3=4，则k3−k2=1．2．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.3．（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟）设数列na的前n项的和为nS，且1142nna，若对于任意的*nN都有143nxSn恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】2,3【解析】由题设可得11221244133212nnnSnn，则2214332nnSn，不等式1143nxSn可化为22113332nx，即319122111122nnx，则问题转化为求12n的最大值和最小值。由于*nN，所以12n的最大值和最小值分别为14和12，则319111221142x，即23x，应填答案2,3。点睛：解答本题的关键是求出数列na的前n项的和为nS，11221244133212nnnSnn，进而求出2214332nnSn，将不等式143nxSn等价转化为22113332nx，即319122111122nnx恒成立，从而将问题转化为求12n的最大值和最小值问题。4．（江苏省南通市2018年高考数学模拟试题）设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数列的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2），2【解析】（1）解：由，得（），两式相减，得，即（）．因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）①由（1）知，，由，得，即，即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以，所以．②设，则，所以，两式相减，得，3所以．由，得，即．显然当时，上式成立，设（），即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．5．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2,n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，4即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，5所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.6．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550...
