高考数学 专题25 数列的综合应用热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题25数列的综合应用1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题热点题型一公式法求和例1、等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。(1)求数列{an}的通项公式。(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。【提分秘籍】几类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解。(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解。【举一反三】已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和。(1)求an及Sn。(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求{bn}的通项公式及其前n项和Tn。热点题型二分组法求和例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和。解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n。故数列{an}的通项公式为an＝n。(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn。记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)。记A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n。故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2。【提分秘籍】分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。【举一反三】在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn。解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d。由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，故⇒⇒q＝3或1(舍去)。所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1。热点题型三裂项相消法求和例3．【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则。【答案】【考点】等差数列前n项和公式；裂项求和。【变式探究】已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。解析：(1) S＝an，an＝Sn－Sn－1，(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列。∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝。(2)又bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝。【提分秘籍】常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法(k为非零常数)＝＝＝(－)a>0，a≠1loga＝loga(n＋1)－logan【举一反三】在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。(1)求{an}的通项an。(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。(2)由(1)知bn＝log2an＝log225－n＝5－n。所以cn＝－＝－，所以Sn＝－＝－＝－。热点题型四错位相减法求和例4、【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）所以……+=……+①又……+②①-②得=所以【变式探究】已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n＋1，求数列{an}的前n项和Sn。【提分秘籍】利用错位相减法的解题策略一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的...