高中数学 专题强化训练2 平面向量（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

专题强化训练(二)平面向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中正确的是()A．OA－OB＝ABB．AB＋BA＝0C．0·AB＝0D．AB＋BC＋CD＝ADD[起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA－OB＝BA；AB，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB＋BA＝0；0·AB＝0.]2．已知点A(－1，－2)按向量a平移后变为A′(0，1)，点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为()A．(3，1)B．(1，3)C．(3，2)D．(2，3)C[设a＝(x，y)，则有－1＋x＝0，－2＋y＝1，所以a＝(1，3).点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(3，2).]3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. |a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.]4．已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC是()A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形B[由题意知(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝CB·(AB＋AC)＝0，如图所示，其中AB＋AC＝2AD(点D为线段BC的中点)，所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．故选B.]5．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2B[根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同1时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．]二、填空题6．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．1[(a＋b)·(ka－b)＝(k－1)(1＋a·b)，由于|a|＝1，|b|＝1，且a与b不共线，∴1＋a·b≠0.又(k－1)·(1＋a·b)＝0.∴k＝1.]7．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________．1[a－2b＝(，3)， (a－2b)∥c，∴3－3k＝0，∴k＝1.]8．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．④[因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．]三、解答题9．已知|a|＝，|b|＝1.(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.[解](1)|a－b|＝＝＝1.(2) (a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝×1×cosθ－1＝0，∴cosθ＝，又 0≤θ≤π，∴θ＝.10．已知OP＝(2，1)，OA＝(1，7)，OB＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.[解](1) 点C是直线OP上的一点，∴向量OC与OP共线，设OC＝tOP(t∈R)，则OC＝t(2，1)＝(2t，t)，∴CA＝OA－OC＝(1－2t，7－t)，CB＝OB－OC＝(5－2t，1－t)，∴CA·CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.∴当t＝2时，CA·CB取得最小值，此时OC＝(4，2).2(2)由(1)知OC＝(4，2)，∴CA＝(－3，5)，CB＝(1，－1)，∴|CA|＝，|CB|＝，CA·CB＝－3－5＝－8.∴cos∠ACB＝＝－.1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于()A．－B．－C．D．A[PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝2|PA|·|PM|·cos180°＝2×××(－1)＝－.]2．已知a＝，b＝，a∥b，0≤α<2π，则角α等于()A．B．C．或D．或D[因为a∥b，所以sinα＝cosα，所以tanα＝，又0≤α<2π，所以α＝或.]3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝，D是BC的中点，则BA在CD方向上的射影是________．－[由题意知，BA与CD所成的角为，∴BA在CD方向上的射影是2×cos＝－.]4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．[由题意得：a·b＝(e1－2e...