专题强化训练(二)平面向量(建议用时:40分钟)一、选择题1.下列命题中正确的是()A.OA-OB=ABB.AB+BA=0C.0·AB=0D.AB+BC+CD=ADD[起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,OA-OB=BA;AB,BA是一对相反向量,它们的和应该为零向量,AB+BA=0;0·AB=0.]2.已知点A(-1,-2)按向量a平移后变为A′(0,1),点B(2,-1)按向量a平移后对应点B′的坐标为()A.(3,1)B.(1,3)C.(3,2)D.(2,3)C[设a=(x,y),则有-1+x=0,-2+y=1,所以a=(1,3).点B(2,-1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(3,2).]3.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0B[a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b. |a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.故选B.]4.已知O为平面上的一个定点,A,B,C是该平面上不共线的三点,若(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形B[由题意知(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=CB·(AB+AC)=0,如图所示,其中AB+AC=2AD(点D为线段BC的中点),所以AD⊥BC,即AD是BC的中垂线,所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形.故选B.]5.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2B[根据a·b=|a||b|cosθ,又cosθ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同1时,|a-b|>||a|-|b||,B不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,D恒成立.]二、填空题6.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.1[(a+b)·(ka-b)=(k-1)(1+a·b),由于|a|=1,|b|=1,且a与b不共线,∴1+a·b≠0.又(k-1)·(1+a·b)=0.∴k=1.]7.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=________.1[a-2b=(,3), (a-2b)∥c,∴3-3k=0,∴k=1.]8.给出下列结论:①若a≠0,a·b=0,则b=0;②若a·b=b·c,则a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0.其中正确结论的序号是________.④[因为两个非零向量a、b垂直时,a·b=0,故①不正确;当a=0,b⊥c时,a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故②不正确;向量(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故③不正确;a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0,故④正确.]三、解答题9.已知|a|=,|b|=1.(1)若a,b的夹角θ为45°,求|a-b|;(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.[解](1)|a-b|===1.(2) (a-b)⊥b,∴(a-b)·b=a·b-b2=×1×cosθ-1=0,∴cosθ=,又 0≤θ≤π,∴θ=.10.已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使CA·CB取得最小值时的OC;(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.[解](1) 点C是直线OP上的一点,∴向量OC与OP共线,设OC=tOP(t∈R),则OC=t(2,1)=(2t,t),∴CA=OA-OC=(1-2t,7-t),CB=OB-OC=(5-2t,1-t),∴CA·CB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.∴当t=2时,CA·CB取得最小值,此时OC=(4,2).2(2)由(1)知OC=(4,2),∴CA=(-3,5),CB=(1,-1),∴|CA|=,|CB|=,CA·CB=-3-5=-8.∴cos∠ACB==-.1.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)等于()A.-B.-C.D.A[PA·(PB+PC)=PA·2PM=2|PA|·|PM|·cos180°=2×××(-1)=-.]2.已知a=,b=,a∥b,0≤α<2π,则角α等于()A.B.C.或D.或D[因为a∥b,所以sinα=cosα,所以tanα=,又0≤α<2π,所以α=或.]3.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ABC=,D是BC的中点,则BA在CD方向上的射影是________.-[由题意知,BA与CD所成的角为,∴BA在CD方向上的射影是2×cos=-.]4.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,则实数k的值为________.[由题意得:a·b=(e1-2e...