高中数学 3.4.2基本不等式的应用练习 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP免费

3．4.2基本不等式的应用1．如果用x，y来分别表示矩形的长和宽，用l来表示矩形的周长，S来表示矩形的面积，则l＝2(x＋y)，S＝xy．2．在上题中，若面积S为定值，则由x＋y≥2，可知周长有最小值，为4．3．在第1题中，若周长l为定值，则由≤，可知面积S有最大值，为．4．基本不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)的变形有a2＋b2≥2ab和ab≤．5．常用的几个不等式有：＋≥2，≤≤≤(a，b∈R＋)．,►基础巩固一、选择题1．若x＞4，则函数y＝x＋(B)A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值2D．没有最小值解析：y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝时，即x＝5时取得最小值6.2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为(B)A．6B．4C．2D．8解析：2a＋2b≥2＝2＝4.3．已知x，y是正数，且xy＝4，则＋取得最小值时，x的值是(B)A．1B．2C．2D.解析：＋≥2≥2＝2，此时＝，即x＝y＝2.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(A)A．a＜v＜B．v＝C.＜v＜D．v＝解析：设甲地到乙地距离为s，则v＝＝，∵a＜b，∴＜⇒＞＝a，＜.5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则(B)1A．R＜P＜QB．P＜Q＜RC．Q＜P＜RD．P＜R＜Q解析：∵a＞b＞1，∴lga＞0，lgb＞0.由基本不等式易得P＜Q，而Q＝lg＜lg＝R，故P＜Q＜R.二、填空题6．已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．解析：由x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2得2x＋3y＝2，即x＋3y＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y时取等号．答案：47．已知x＞0，y＞0，3x＋4y＝5，2xy的最大值为________．解析：2xy＝×3x×4y≤＝×＝.答案：8．不等式y＝x(1－3x)的最大值是________．解析：∵0＜x＜，∴1－3x＞0.∴x(1－3x)＝(3x)(1－3x)≤＝×＝.答案：三、解答题9．已知x≥，求f(x)＝的最小值．解析：∵x≥，∴x－2＞0.∴f(x)＝＝＝(x－2)＋≥2.当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，f(x)min＝2.10．过点P(1，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程．解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，则l的方程为＋＝1，又∵l过P点，∴＋＝1，三角形的面积S＝ab.由＋＝1⇒ab＝b＋2a≥2⇒ab≥8，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时，Smin＝4.∴l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.►能力升级一、选择题11．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)．若a⊥b，则9x＋3y的最小值为(C)A．2B．12C．6D．3解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y≥2＝2＝6.当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴最小值为6.212．已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是(D)A．a2＋b2＝MB．a，b∈R＋，且a＋b＝MC．a＜0，b＜0，且a＋b＝MD．a·b＜0，a＋b＝M解析：由ab≤及ab≤对任何实数a、b都成立，且a＝b时，等号成立，可知A、B、C三项均有最大值．但D项中不存在等号成立的条件，故D项没有最大值．13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A．2B．4C．6D．8解析：(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2.由(1＋)2＝9，解得a＝4.二、填空题14．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝1＋3xy，即(2x＋y)2＝1＋·2x·y≤1＋·，解得(2x＋y)2≤，即－≤2x＋y≤.答案：15．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a的最大值为________．解析：由a2＋＝1得2a2＋b2＝2，a＝·a·≤·＝.当且仅当a＝⇒b2＝，a2＝时取等号．答案：三、解答题16．已知f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小，并加以证明．解析：[f(x1)＋f(x2)]≤f.下面给出证明：∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1x2)，f＝lg，而x1，x2∈R＋，x1x2≤，∴lg(x1x2)≤lg.∴lg(x1x2)≤lg，即(lgx1＋lgx2)≤lg.因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f.3