单元小练3导数及其应用一、填空题1．函数f(x)=1x的导函数为．2．曲线y=x-cosx在点ππ22，处的切线方程为．3．设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(ex)=x+ex，则f'(1)=．4．函数f(x)=x-lnx的单调减区间为．5．函数f(x)=12x2-lnx的最小值为．6．已知函数f(x)=x(2014+lnx)，且f'(x0)=2015，那么x0=．7．设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m，n∈R)是R上的单调增函数，则实数m的值为．8．曲线y=log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于．9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x-mx(x≠0，m≠-2)在x=1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为．10．已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx(a>0).若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，则实数a的取值范围是．二、解答题11．已知函数f(x)=lnexxk(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；1(2)求函数f(x)的单调区间.12．已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.13．已知函数f(x)=xlnx，g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[t，t+2](t>0)上的最小值.【单元小练答案】单元小练3导数及其应用1.f'(x)=-3-212x【解析】f'(x)=(1-2x)'=-3-212x，x∈(0，+∞).2.2x-y-π2=0【解析】因为y'=1+sinx，x∈R，所以y'π2|x=2，所以所求切线方程为y-π2=2π-2x，即2x-y-π2=0.3.2【解析】令ex=t，则x=lnt，t>0，所以f(x)=lnx+x，x>0，所以f'(x)=1+1x，则f'(1)=1+1=2.24.(0，1)【解析】函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且f'(x)=1-1x=-1xx，令f'(x)<0，解得0
0.令f'(x)>0，得x>1；令f'(x)<0，得00.由f'(x0)=2015，得lnx0=0，解得x0=1.7.6【解析】因为f'(x)=12x2+2mx+(m-3)，又函数f(x)是R上的单调增函数，所以12x2+2mx+(m-3)≥0在R上恒成立，所以(2m)2-4×12(m-3)≤0，整理得m2-12m+36≤0，即(m-6)2≤0.又因为(m-6)2≥0，所以(m-6)2=0，所以m=6.8.12log2e【解析】因为y'=1ln2x，x>0，所以y'|x=1=1ln2，所以切线方程为y=1ln2(x-1)，令x=0，得y=-1ln2；令y=0，得x=1.所以三角形面积S=12×1×1ln2=12ln2=12log2e.9.-3或-4【解析】y'=2+2mx，y'|x=1=2+m，所以直线l的方程为y-(2-m)=(2+m)(x-1)，即y=(2+m)x-2m.令x=0，得y=-2m；令y=0，得x=22mm.由题意得22mm-2m=12，解得m=-3或m=-4.10.205，∪[1，+∞)【解析】f'(x)=3a-4x+1x(x>0)，若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，即f'(x)=3a-4x+1x≥0或f'(x)=3a-4x+1x≤0在[1，2]上恒成立，即3a≥4x-1x或3a≤4x-1x在[1，2]上恒成立.令h(x)=4x-1x，则h'(x)=4+21x>0在[1，2]上恒成立，所以h(x)在[1，2]3上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3.又a>0，所以00，f'(x)=1-ln-exxkx，又由题知f'(1)=1-ek=0，所以k=1.(2)x>0，f'(x)=1-ln-1exxx.设h(x)=1x-lnx-1(x>0)，则h'(x)=-21x-1x<0，即h(x)在(0，+∞)上单调递减.由h(1)=0知，当00，所以f'(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f'(x)<0.综上，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，+∞).12.(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3，则f'(x)=(x-2)2-1≥-1，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，-11--1kk，，解得-1≤k<0或k≥1，故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1，得x∈(-∞，2-2]∪(1，3)∪[2+2，+∞).13.(1)当a=5时，g(x)=(-x2+5x-3)ex，g(1)=e.又g'(x)=(-x2+3x+2)ex，故在x=1处的切线斜率为g'(1)=4e，所以切线方程为y-e=4e(x-1)，即y=4ex-3e.4(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0，得x=1e.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x10e，1e1e，f'(x)-0+f(x)↘极小值↗当t≥1e时，在区间[t，t+2]上f(x)为增函数，所以f(x)min=f(t)=tlnt.②当0
