高考大题专项练4高考中的立体几何高考大题专项练第8页1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.(1)求证:BD⊥平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°.因此∠ADB=90°,即AD⊥BD.又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD⫋平面AED,所以BD⊥平面AED.(2)解法一:连接AC.由(1)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1).因此=(0,-1,1).设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,所以x=y=z,取z=1,则m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cos=,所以二面角F-BD-C的余弦值为.解法二:如图,取BD的中点G,连接CG,FG.由于CB=CD,因此CG⊥BD.又FC⊥平面ABCD,BD⫋平面ABCD,所以FC⊥BD.由于FC∩CG=C,FC,CG⫋平面FCG,所以BD⊥平面FCG,故BD⊥FG,所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角.在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,因此CG=CB.又CB=CF,所以GF=CG,故cos∠FGC=,因此二面角F-BD-C的余弦值为.导学号〚92950942〛2.如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.(1)证明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=.由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.(2)解:方法一:作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连接BG,由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB.由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=.在Rt△AED中,由ED=1,AD=,得AE=.在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.从而GF=.在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BG=.在△BFG中,cos∠BFG=.所以,∠BFG=,即二面角B-AD-E的大小是.方法二:以D为原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得=(0,-2,-),=(1,-2,-),=(1,1,0),由可取m=(0,1,-).由可取n=(1,-1,).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小是.导学号〚92950943〛3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⫋平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又AB⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:以A为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CDE中,DE=CDcos45°=1,CE=CDsin45°=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).(ⅰ)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,得取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos60°=,即,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t>0),所以AB=.(ⅱ)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).由||=||得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;①由||=||得(4-t-m)2=m2+t2.②由①,②消去t,化简得m2-3m+4=0.③由于方程③没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.导学号〚92950944〛4.如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于A...
