课时跟踪检测（五）公理4及等角定理一、基本能力达标1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．相交B．异面C．异面或相交D．平行解析：选C如图，有相交或异面两种情况．2．在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()A．SBB．SCC．BCD．AB解析：选C如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.4．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：选B由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行．(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)c与b可能相交或异面．6．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．解析：六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．答案：247．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．解析：如图，连接BD，在△ABD中，＝，则EH∥BD，同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.答案：平行8．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.答案：60°9．如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条射线，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝成立．求证：△A1B1C1∽△ABC.证明：在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.10．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1B1C1D1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．解：如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.二、综合能力提升1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示，故AB与CD为不垂直的异面直线．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交， c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B如图，易证四边形EFGH为平行四边形．又 E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′DEF，则HG与IJ所成角的大小为________．解析：如图所示，在三棱锥A′DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成角与A′D与DF所成角相等．显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°.答案：60°6．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下...
