课下能力提升(二十二)向量应用举例一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是()A．－1B．1C．2D．－1或22．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12N，则合力的大小为(精确到0.1N)()A．20.6NB．18.8NC．20.8ND．36.8N3．在△ABC中，若＝0，则△ABC为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1，2)D．(1，2)二、填空题5．已知F＝(2，3)作用于一物体，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则力F对物体做的功为________．6．已知直线l经过点(－，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O到直线l的距离为________．7．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.8．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则＝__________.三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4m/s，这时气象台报告的实际风速为2m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小．10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．答案1．解析：选D取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．解析：选C设两条绳索的拉力F1，F2的合力为F合．如图所示，则＝12，F合＝，连接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2||＝2×12cos30°＝12≈20.8N.3．4．解析：选D由题可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．5．解析：∵＝(－4,3)，∴W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：16．解析：可知直线l的斜率k＝－，∴l的方程为y＝－(x＋)，即x＋2y＋＝0，∴原点到l的距离为d＝＝1.答案：17．＝(－1－×1×1×cos60°＋×1)＝－.答案：－8．解析：如图，取D为AB的中点，∵OA＝1，AB＝，∴∠AOD＝.∴∠AOB＝.∴＝1×1×cos＝－.答案：－9．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段对应▱ABDC的对角线．∵||＝4，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，||＝||cos30°＝2.∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2m/s.10．证明：设△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如图：＝b2－2bccosA＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(bcosA，bsinA)，B(c,0)，∴＝(bcosA，bsinA)－(c,0)＝(bcosA－c，bsinA)，∴a2＝||2＝(bcosA－c)2＋(bsinA)2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bccosA＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
