高考数学二轮复习 大题规范练11“20题、21题”24分练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

大题规范练(十一)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆＋(y－2)2＝与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM＝∠BNM.【导学号：07804242】[解](1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为离心率为，所以＝，解得＝，即a2＝2b2.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以4a＝8，即a＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：把y＝0代入＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，即点M(1,0)，N(4,0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．联立消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝.因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝－＋8＝＝0，所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM.综上所述，∠ANM＝∠BNM.21．已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R.(1)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点分别是x1和x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.[解](1)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0.当a≤0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a＜时，由f′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f′(x)＜0得1＜x＜，所以f(x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减．当a＝时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当a＞时，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在区间和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减；当0＜a＜时，f(x)在区间(0,1)和区间上单调递增，在区间上单调递减；当a＝时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；当a＞时，f(x)在区间和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．(2)法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝，由题意知x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝.记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且bx1＝2x＋1，bx2＝2x＋1，f(x1)－f(x2)＝(x－x)－(bx1－bx2)＋ln＝－(x－x)＋ln，因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝x－－ln(2x)，x2∈(1，＋∞)．令t＝2x∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－－lnt.因为当t＞2时，φ′(t)＝＞0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2.法二：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx(x＞0)，从而f′(x)＝，由题意知x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝.记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在(x1，x2)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)＞f－f(1)＝－(1－b)＝－＋－ln2，因为b＞3，所以f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2.