高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 解析几何（10） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

解析几何(10)1．[2019·重庆西南大学附中检测]已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直线l过点(－2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．解析：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，易求得直线l与圆C的交点为A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，所以△PMC为直角三角形，所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设P(x，y)，由(1)知C(－1,2)，|MC|＝.因为|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.2．[2019·贵州省适应性考试]已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为.(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．解析：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，于是c＝asin60°＝a，b＝acos60°＝a.所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，解得a＝2，b＝1.所以椭圆G的方程为＋y2＝1.(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d＝＝1，即k2t2＝k2＋1，①联立化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.设Q(x0，y0)，有解得x0＝.由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.因此＝t＋，化简得k2＝，将其代入①式，可得t＝±.3．[2019·安徽五校联盟质检]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|，且cos∠F1PF2＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．解析：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，∴r1＝a，r2＝a.在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，得a＝2， c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)联立方程，得消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)>0，①设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， |AQ|＝|BQ|，∴AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，∴k≠0，直线QM的斜率存在，∴k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②把②代入①得3＋4k2>2，整理得16k4＋8k2－3>0，即(4k2－1)(4k2＋3)>0，得k>或k<－，故k的取值范围为∪.4．[2019·山东济南质量评估]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点(1，－)．(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．解析：(1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，联立得得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0得m2＝4k2＋1>0.设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A.易得B，F(，0)，则FA＝，FB＝，FA·FB＝＋＝－－1＋＋1＝0，所以FA⊥FB，即△FAB为直角三角形．5．[2019·河南郑州一测]设M为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN＝MN，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|DA＋DB|＝|DA－DB|，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解析：(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， 2PN＝MN，∴2(x0－x，－y)＝(0，－y0)，即x0＝x，y0＝y，又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，将x0＝x，y0＝y代入得＋＝1，即轨迹E的方程为＋＝1.(2)由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得整理...