高考数学一轮总复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课时跟踪检测 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

5.3等比数列及其前n项和[课时跟踪检测][基础达标]1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为()A．10B．20C．100D．200解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.答案：C2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.B．－C.D．解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝.答案：A3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－C．5D．解析： log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an.∴数列{an}是公比q＝3的等比数列． a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，∴log(a5＋a7＋a9)＝log(9×33)＝log35＝－5.答案：A4．(2017届太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝()A．2B．4C.D．2解析：在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝，a1＝＝4.答案：B5．(2017届莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2017＝()A．92016B．272016C．92017D．272017解析：由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，所以c2017＝33×2017＝272017.答案：D6．(2018届海口市调研测试)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为()A.B．C．2D．17解析：设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.答案：B7．(2017届衡阳模拟)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝()A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n，故选C.答案：C8．(2017届广州市五校联考)已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝()A．29B．210C．211D．212解析：由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，所以a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，所以a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.答案：C9．由正数组成的等比数列{an}满足a3a8＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝________.解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1a10)·(a2a9)·…·(a5a6)＝log2(a3a8)5＝log2225＝25.答案：2510．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.答案：3n－111．(2017届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q＋1＝0，因为q≠1，所以q＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝·3n＝n，Tn＝×＝.12．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)．已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝81＋＋＋1，解得a4＝.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)...