高考数学大一轮复习 升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

升级增分训练利用导数探究含参数函数的性质1．已知函数f(x)＝x－ax2－ln(1＋x)(a＞0)．(1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解：f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．(1)依题意，得f′(2)＝0，即＝0，解得a＝．经检验，a＝符合题意，故a的值为．(2)令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－1．①当0＜a＜1时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)f(x1)f(x2)∴f(x)的单调增区间是，单调减区间是(－1,0)和．②当a＝1时，f(x)的单调减区间是(－1，＋∞)．③当a＞1时，－1＜x2＜0，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)f(x2)f(x1)∴f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，＋∞)．综上，当0＜a＜1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是(－1,0)和；当a＝1时，f(x)的单调减区间是(－1，＋∞)；当a＞1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，＋∞)．2．已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝．(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a．综上所述，当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2．3．已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝a－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．当a＞0时，由f′(x)＜0，得0＜x＜，由f′(x)＞0，得x＞，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x＝处有极小值．∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2) 函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，解得a＝1，∴f(x)≥bx－2⇒1＋－≥b，令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝e2．则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－，故实数b的取值范围为．4．已知方程f(x)·x2－2ax＋f(x)－a2＋1＝0，其中a∈R，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上存在最大值和最小值，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)·x2－2ax＋f(x)－a2＋1＝0得f(x)＝，则f′(x)＝．①当a＝0时，f′(x)＝，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，即f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故f(x)的单调递减区间是(－∞，－a)，，单调递增区间是．③当a＜0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：x(－∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是，(－a，＋∞)，单调递减区间是．(2)由(1)得，a＝0不合题意．当a＞0时，由(1)得，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上存在最大值f＝a2＞0．设x0为f(x)的零点，易知x0＝，且x0＜．从而当x＞x0时，f(x)＞0；当x＜x0时，f(x)＜0．若f(x)在[0，＋∞)上存在最小值，必有f(0)≤0，解得－1≤a≤1．所以当a＞0时，若f(x)在[0，＋∞)上存在最大值和最小值，则实数a的取值范围是(0,1]．当a＜0时，由(1)得，f(x)在(0，－a)上单调递减，在...