7.4数列求和考点一分组转化法或并项法求和1.数列{an}的通项公式是an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为()A.-200B.-100C.200D.1002.数列{1+2n-1}的前n项和为()A.2nB.2n-1+1C.n-1+2nD.n+2+2n3.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.102004.已知数列{an}的通项公式是an=n2sin,则a1+a2+a3+…+a2021等于()A.-B.C.D.-5.已知正项数列{an}满足-6=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=________.【解析】1.选D.由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.2.选C.由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1.3.选B.由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)1=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.4.选A.an=n2sin,所以a1+a2+a3+…+a2021=-12+22-32+42-…-20192+20202-20212=(22-12)+(42-32)+…+(20202-20192)-20212=(1+2+3+4+…+2019+2020)-20212=-20212=.5.因为-6=an+1an,因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0.又因为an>0,所以an+1=3an.又a1=2,所以{an}是首项为2,公比为3的等比数列.所以Sn==3n-1.答案:3n-1将T3变为:在数列{an}中a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.99【解析】选A.n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.1.分组法求和的常见类型(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前n项和.2(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比或等差数列,可采用分组法求和.2.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.【秒杀绝招】排除法解T2,把n=1代入排除D选项,把n=2代入排除A、B选项.考点二错位相减法【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【解题导思】序号题目拆解(1)①{an}的前n项和Sn=3n2+8n知Sn求an②{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1求数列{bn}的通项公式(2)①cn=把an,bn代入cn=中,得cn的表达式②求数列{cn}的前n项和Tn求得cn=3(n+1)·2n+1,根据Tn的特征利用乘公比错位相减法求和【解析】(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以an=6n+5.设数列{bn}的公差为d,由即3可解得所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+-(n+1)×]=3×=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.【答题模板微课】本例题(2)的模板化过程:建模板:“由(1)知cn==3(n+1)·2n+1.”…………写通项“故Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],”…………写前n项和“2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],”…………乘公比“两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2,”…………错位相减“所以Tn=3n·2n+2.”…………整理出结果套模板:已知an=2n-1,bn=2n+1,cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】由题知cn=an·bn=(2n+1)2n-1,…………写通项故Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1,…………写前n项和2Tn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,…………乘公比4上述两式相减得,-Tn=3+22+23+…+2n-(2n+1)×…………错位相减=3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1,得Tn=(2n-1)×2n+1.…………整理出结果所以数列{cn}的前n项和为(2n-1)×2n+1.利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.(2)思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*),则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**),(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化成了根据公式可求的和.【易错提醒】在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.同时要注意等比数列的项数是多少.已知等比数列{an}中,a1+a2=8,a2+a3=24,Sn为数...
