压轴小题抢分练(二)压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)+f′(x)>1,f(1)=0,则不等式f(x)-1+≤0的解集是()A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.[1,+∞)【解析】选A.令g(x)=ex-1f(x)-ex-1+1,则:g′(x)=ex-1(f(x)+f′(x)-1),由题意可知:g′(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增,且g(1)=1×0-1+1=0,不等式f(x)-1+≤0即ex-1f(x)-ex-1+1≤0,即:g(x)≤g(1),结合函数的单调性可得不等式的解集为:{x|x≤1}.2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若·=0,且∠F1AF2=150°,则e2=()A.7-2B.7-C.7+D.7+2【解析】选A.如图:因为·=0,所以AB⊥BF2,∠F1BF2=90°,因为∠F1AF2=150°,所以∠BAF2=30°,设BF2=x,则AF2=2x,AB=x,由双曲线定义可得:F1A+AB-BF2=2a,所以F1A=2a+x-x,AF2-AF1=2a,F1A=2x-2a,故2x-2a=2a+x-x,解得x=2(-1)a,则F1B=2a,在Rt△F1BF2中,由勾股定理可得F1B2+B=F1,即(2a)2+[2(-1)a]2=(2c)2,得(7-2)a2=c2,所以e2=7-2.3.若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,则整数k的最大值是()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,所以当x>2时,x(1+lnx)>k(x-2)恒成立,即k<恒成立,令h(x)=,h′(x)=,x>2.令φ(x)=x-4-2lnx,φ′(x)=1->0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,因为φ(8)=4-2ln8<0,φ(9)=5-2ln9>0,方程φ(x)=0在(2,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(8,9).则φ(x0)=x0-4-2lnx0=0,即x0-4=2lnx0.当x∈(2,x0)时,φ(x)<0,h′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0,h′(x)>0.故h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故h(x)的最小值为h(x0)===∈.所以整数k的最大值为4.4.函数f(x)=lnx+x2-bx+a(b>0,a∈R)的图象在点(b,f(b))处的切线的倾斜角为α,则倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.依题意得f′(x)=+2x-b,f′(b)=+b≥2=1(b>0),当且仅当=b>0,即b=时取等号,因此有tanα≥1,≤α<,即倾斜角α的取值范围是.5.已知关于x的方程为=12ex-2-m(x2-3)(其中m∈R),则此方程实根的个数为()A.2B.2或3C.3D.3或4【解析】选C.很明显x=±不是方程=12ex-2-m(x2-3)的根,据此可将方程变形为:m=·-,原问题等价于考查函数y=m与函数g(x)=·-的交点的个数,令h(x)=,则h′(x)=,列表考查函数h(x)的性质如下:x(-∞,-)(-,-1)(-1,)(,3)(3,+∞)h′(x)++--+h(x)↗↗↘↘↗函数y=x-在有意义的区间内单调递增,故g(x)的单调性与函数h(x)的单调性一致,且函数的极值g(-1)=g(3)=+2e.可得,y=m与函数g(x)=·-恒有3个交点,即题中方程实根的个数为3.6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若|MF1|-|MF2|=2b,该双曲线的离心率为e,则e2=()A.2B.3C.D.【解析】选D.以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=c2,双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x,联立方程求得M(a,b),因为|MF1|-|MF2|=2b<2c,所以有M(a,b)在双曲线-=1(a>0,b>0)上,所以-=1⇒-=1,化简得e4-e2-1=0,由求根公式有e2=(负值舍去).7.已知函数f(x)=2lnx,g(x)=a-x2-e≤x≤-,其中e为自然对数的底数.若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,使得P,Q关于原点对称,则实数a的取值范围是()A.B.[1,e2-2]C.D.[e2-2,+∞)【解析】选B.由题意,若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,使得P,Q关于原点对称,则函数f(x)=2lnx和函数y=x2-a有公共点,即方程2lnx=x2-a有解,即a=x2-2lnx有解.令y=x2-2lnx,则y′=2,当≤x<1时,y′<0,函数为减函数,当10,函数为增函数,故当x=1时,函数取最小值为1,当x=e时,函数取最大值为e2-2,故实数a的取值范围是[1,e2-2].8.设f(x)=ex(x2+2x),令f1(x)=f′(x),fn+1(x)=fn′(x),若fn(x)=ex(Anx2+Bnx+Cn),且数列的前n项和为Sn,则当|Sn-1|≤时,n的最小整数值为()A.2017B.2018C.2019D.2020【解析】选A.由题意得f1(x)=(2x+2)ex+(x2+2x)ex=(x2+4x+2)ex,f2(x)=(2x+4)ex+(x2+4x+2)ex=(x2+6x+6)ex,...
