7.3球1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为()A.RB.2RC.3RD.4R解析:设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,故h=4R.答案:D2.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是()A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半解析:设球的半径为R,则V1=πR3,设正方体棱长为a,则2R=a,V2=a3,所以V1=V2,估算得选项D.答案:D3.导学号62180067有64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲,一个直径为a的球记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲>V乙,S甲>S乙B.V甲S乙C.V甲=V乙,S甲>S乙D.V甲=V乙,S甲S乙.答案:C4.如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位:cm),则该三棱锥的外接球的表面积为()A.cm2B.19πcm2C.14πcm2D.7πcm2解析:该三棱锥可以看作是一个长、宽、高分别等于3cm,1cm,2cm的长方体的一部分,其外接球就是长方体的外接球.长方体的体对角线长为(cm),此即为外接球的直径2R,于是外接球表面积S=4πR2=14πcm2.答案:C5.如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为π×53=π(cm3),故选A.答案:A6.一个空间几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图都是半径为1的圆,且这个几何体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为.解析:由三视图可知此几何体的表面积为S=S球+πr2=×4πr2+πr2=4πr2=4π×12=4π.答案:4π7.要把直径为5cm的钢球放入一个正方体有盖纸盒中,请问制作出此纸盒至少要用纸cm2.解析:用料最省时,球内切于正方体,球的直径等于正方体的棱长,所以S正方体=6×52=150cm2,所以制作此纸盒至少用纸150cm2.答案:1508.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,求这个圆锥的高与球的半径之比为.解析:如图所示,作出轴截面,设公共底面圆的半径为R,圆锥的高为h.∴V锥=πR2h,V半球=πR3.∵V锥=V半球,∴h=2R,即h∶R=2∶1.答案:2∶19.导学号62180068一个球的外切圆台上、下底面半径分别为r,R,求球的体积和表面积.解:如图所示,圆台及内切球的轴截面ABCD,O1,O2,O分别为上、下底面圆心及球心,设球的半径为x,则O1O2=2x,过点C作CE⊥AB于点E,则CE=2x,BE=R-r.∵BC=R+r,∴在Rt△CBE中,CB2=BE2+CE2,即(R+r)2=(R-r)2+(2x)2.∴x2=Rr,∴x=.∴V球=πx3=πRr,S球=4πx2=4πRr.10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)解:如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1.在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴S球=4πR2,=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,∴S几何体表=S球+=πR2+πR2=πR2.故旋转所得几何体的表面积为πR2.
