1.4.2正弦函数、余弦函数的性质主动成长夯基达标1.下列四个函数中,既是(0,)上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是()A.y=|sinx|B.y=|sin2x|C.y=|cosx|D.y=cos2x解析:结合图象进行判断.答案:A2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f(+x)=f(-x),则f()等于()A.0B.3C.-3D.3或-3解析:由f(+x)=f(-x)得x=为函数的对称轴,所以y=f(x)在对称轴处取得最大值或最小值.答案:D3.函数y=-xcosx的部分图象是()图1-4-9解析:从y=-xcosx的性质考虑.f(-x)=xcos(-x)=xcosx=-f(x).∴y=-xcosx为奇函数.∴排除A,C.当x＞0,但x→0时,cosx＞0,∴-xcosx＜0.∴图象应在x轴下方.故选D.答案:D4.给定函数①y=xsinx;②y=1+sin2x;③y=cos(sinx)中,偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0解析:①f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)为偶函数;②f(-x)=1+sin2(-x)=1+sin2x=f(x)为偶函数;③f(-x)=cos［sin(-x)］=cos(-sinx)=cos(sinx)为偶函数,三个都为偶函数,故选A.答案:A5.函数y=(x∈R)的最大值是()A.B.C.3D.5解析:y=.∵-1≤cosx≤1,∴-1≤-cosx≤1.又1≤2-cosx≤3,∴≤≤1.∴≤≤4,得≤-1+≤3,即最大值是3.答案:C6.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题:①f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必定是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos(2x-);③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称.其中正确命题的序号是____________.解析:①由f(x)=0有2x+=kπ(k∈Z),令k=0得x1=-.令k=1得x2=-.∴x1-x2=-.故①不正确.②利用诱导公式知正确,f(x)=4sin(2x+)=4cos(-2x-)=4cos(-2x+)=4cos(2x-).③令2x+=kπ(k∈Z),得2x=kπ-(k∈Z).∴x=-(k∈Z).令k=0得x=-,∴y=f(x)的图象关于点(-,0)对称.答案:②③7.若函数y=acosx+b(a、b是常数)的最大值是1,最小值是-7,求函数y=3+absinx的最值.解:∵-1≤cosx≤1,当a＞0时,b-a≤y≤a+b,∴∴当a＜0时,a+b≤y≤b-a,∴∴当a=4,b=-3时,y=3-12sinx.∴ymax=15,ymin=-9.当a=-4,b=-3时,y=3+12sinx.∴ymax=15,ymin=-9.8.已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=.(1)试证f(x)是周期函数且8为一个周期;(2)若f(3)=-1,求f(2003)的值.(1)证明:f(x+2+2)==即f(x+4)=.∴f(x+4+4)=-,即f(x+8)=f(x).∴f(x)是周期函数且8为一个周期.(2)解:f(2003)=f(3+250×8)=f(3)=-1.9.(2005全国高考)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求φ;(2)求函数y=f(x)的单调增区间;(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.图1-4-10解:(1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+,k∈Z.∵-π＜φ＜0,∴φ=.(2)由(1)知φ=,因此y=sin(2x-).由题意,得其单调增区间为2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z.∴函数y=sin(2x)的单调增区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.(3)由y=sin(2x)知x0πy--1010-故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象是走近高考10.(2006辽宁高考)函数y=sin(x+3)的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π解析:T==4π.答案:D11.(2006湖南高考)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是()A.2πB.πC.D.解析:T=4×=π.答案:B12.(2006北京高考)函数y=1+cosx的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称解析:函数y=1+cosx的图象可由y=cosx的图象向上平移一个单位得到,其图象关于y轴对称.答案:B13.(2006安徽高考,8)设a＞0,对于函数f(x)=(0＜x＜π),下列结论正确的是()A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值解析:∵f(x)=(a＞0),且sinx∈(0,1］,∴f(x)有最小值1+a,无最大值.答案:B
