课时素养评价四十八正弦函数、余弦函数的性质(一)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为()A.B.πC.2πD.4π【解析】选D.由题意T==4π.【加练·固】函数f(x)=cos的周期是()A.3B.3πC.6D.6π【解析】选C.T==6.2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.由于x∈R,且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.3.(多选题)函数y=sin是R上的偶函数,则φ的值可以是()A.B.πC.D.2π【解析】选A、C.由题意得sin(-φ)=±1,即sinφ=±1.所以φ可以是或.4.函数y=-xcosx的部分图象是下图中的()【解析】选D.因为函数y=-xcosx是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C;当x∈时,y=-xcosx<0.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(-35)=________,f(5)=________.【解析】由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,则f(-35)=f(-35+6×6)=f(1)=1,f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1)=-1.答案:1-16.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sinx,则f(x)的解析式为________.【解析】当x<0时,-x>0,所以f(-x)=sin(-x)=-sinx,又f(-x)=f(x),所以f(x)=-sinx,即f(x)=答案:f(x)=三、解答题(共26分)7.(12分)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos3x.(2)f(x)=xsin(x+π).【解析】(1)函数的定义域为R,且f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x),所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)函数的定义域为R,且f(x)=xsin(x+π)=-xsinx,所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x),故f(x)=xsin(x+π)为偶函数.8.(14分)若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sinx,求当x<0时f(x)的解析式.【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=x-sinx(x<0).(15分钟·30分)1.(4分)已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.f(x)=sin-1=-cosπx-1,从而函数为偶函数,且T==2.【加练·固】函数f(x)=4sin是()A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数【解析】选A.f(x)=4sin=4sin=-4cosx,所以T=3π,且满足f(-x)=f(x).2.(4分)如果函数f(x)=cosωx+(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为()A.3B.6C.12D.24【解析】选B.函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×=,又=,解得ω=6.3.(4分)若f(x)=cosx,则f-f=________.【解析】因为f(x)为偶函数,所以f=f=f=f=f(1+),所以f(1+)-f=f(1+)-f(1+)=0.答案:04.(4分)若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足(x)=则f=________.【解析】f=f=f=sin=.答案:【加练·固】定义在R上的函数f(x)周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为()A.1B.-1C.0D.2【解析】选B.f=f=f=-f=-1.5.(14分)已知函数y=sinx+|sinx|.(1)画出函数的简图.(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.【解析】(1)y=sinx+|sinx|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,则函数的周期是2π.1.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于()A.B.C.2πD.4π【解析】选C.如图,当x∈[a1,b]时,值域为,且b-a最大.当x∈[a2,b]时,值域为,且b-a最小.所以最大值与最小值之和为(b-a1)+(b-a2)=2b-(a1+a2)=2×++=2π.2.已知函数f(x)=cos,若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集.【解析】当x∈时,g(x)=f=cos.因为x+∈,所以由g(x)=解得x+=-或,即x=-或-.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)=的解集为.
