高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6讲 平行、垂直的综合问题分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第6讲平行、垂直的综合问题1.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B.①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()1A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为解析：选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′BCD＝VCA′BD＝，D不正确．故选B.4．在直角梯形ABCD中，AB＝2，CD＝CB＝1，∠ABC＝90°，平面ABCD外有一点E，平面ADE⊥平面ABCD，AE＝ED＝1.(1)求证：AE⊥BE；(2)求点C到平面ABE的距离．解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，BD＝＝，AD＝，又AD＝＝，所以AE⊥ED.因为AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD，因为平面ADE⊥平面ABCD，且交线为AD，AD⊥BD.所以BD⊥平面ADE.因为AE⊂平面ADE，所以BD⊥AE.因为AE⊥BD，AE⊥ED，BD∩DE＝D，所以AE⊥平面BDE，因为BE⊂平面BDE，所以AE⊥BE.(2)如图，过点E作EM⊥AD，交AD于M.因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EM⊥平面ABCD.设点C到平面ABE的距离为h，EM＝，S△ABC＝×AB×BC＝×2×1＝1，S△ABE＝×EB×AE＝××1＝.因为VEABC＝VCABE，所以×1×＝××h，所以h＝，所以点C到平面ABE的距离为.5．(2019·太原模拟)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.2(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD.(2)若cos∠BAD＝，求几何体ABCDFE的体积．解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.所以AC⊥平面BEFD.所以平面ACF⊥平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，AB＝a(a>0)，由(1)得AC⊥平面BEFD，因为BE⊥平面ABCD，所以BE⊥BD，因为DF∥BE，所以DF⊥BD，所以BD2＝EF2－(DF－BE)2＝8，所以BD＝2，所以S四边形BEFD＝(BE＋DF)·BD＝3，因为cos∠BAD＝，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝a2＝8，所以a＝，所以OA2＝AB2－OB2＝3，所以OA＝，所以VABCDFE＝2VABEFD＝S四边形BEFD·OA＝2.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.3(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.1．(2019·郑州第二次质量检测)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为...