高考数学大一轮复习 4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

§4.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；tan(α－β)＝(T(α－β))；tan(α＋β)＝(T(α＋β))．2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)设sin2α＝－sinα，α∈(，π)，则tan2α＝.(√)1．(2013·浙江改编)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝.答案－解析 sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝.化简得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.2．若＝，则tan2α＝.答案解析由＝，等式左边分子、分母同除cosα得，＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝.答案－解析 tan＝，∴tanθ＝－，即且θ为第二象限角，解得sinθ＝，cosθ＝－.∴sinθ＋cosθ＝－.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为．答案1解析 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为．(2)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝.答案(1)－3(2)解析(1)由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.∴tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)． 0<α<，则<＋α<，∴sin(＋α)＝.又－<β<0，则<－<，则sin(－)＝.故cos(α＋)＝×＋×＝.思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sinα＝.(2)计算：－sin10°(－tan5°)＝.答案(1)(2)解析(1) tan(α＋)＝＝，∴tanα＝－＝，∴cosα＝－sinα.又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又 α∈(，π)，∴sinα＝.(2)原式＝－sin10°·＝－＝＝＝＝.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为．(2)化简：＝.(3)求值：＝.答案(1)(2)cos2x(3)解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.(2)原式＝＝＝＝＝cos2x.(3)原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：＝.(2)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为．答案(1)cosα(2)解析(1)原式＝.因为α∈(0，π)，所以cos>0，所以原式＝＝(cos＋sin)·(cos－sin)＝cos2－sin2＝cosα.(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，所以tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan＝＋tantan＝.题型三三角函数公式运用中角的变换例3(1)已...