课时跟踪检测（十六）向量的减法一、基本能力达标1．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b解析：选DAB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b.2．在平行四边形ABCD中，BC－CD＋BA＝()A．BCB．ADC．ABD．AC解析：选A在平行四边形ABCD中，BC＝AD，所以BC－CD＋BA＝AD－CD＋BA＝BA＋AD－CD＝BD－CD＝BC，故选A.3．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.结果为零向量的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选D由三角形法则及向量加、减法的有关性质可知各式均为零向量．4.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是()A．－＝B．＋＝C．＋＋＝D．＋＝＋解析：选C－＝＋＝，故A错误；＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＝≠＋，故D错误．5．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为()A．0B．1C.D．2解析：选B|－|＝|＋|＝||＝1.6.化简AB＋DA－DB－BC－CA的结果是________.解析：原式=AB＋（DA－DB）－（BC＋CA）=AB＋BA－BA=AB.答案：AB7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：028．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.解析：利用向量减法的三角形法则，知|a－b|是Rt△AOB的斜边长．由勾股定理，得|a－b|＝＝13.答案：139.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋CF＝0.证明：连接EF，由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.由平面几何可知：＝，＝.∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＋＋＝＋＋＝0.10.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.解：∵＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，∴(1)＝＋＋＝d＋e＋a.(2)＝－＝－－＝－b－c.(3)＝＋＋＝a＋b＋e.(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.二、综合能力提升1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B由＝，得AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝，－＝，所以||＝||，所以四边形ABCD是矩形．2．对于菱形ABCD，给出下列各式：①AB＝BC；②|AB|＝|BC|；③|AB－CD|＝|AD＋BC|；④|AD＋CD|＝|CD－CB|.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C由菱形的图像，可知向量AB与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB－CD|＝|AB＋DC|＝2|AB|，|AD＋BC|＝2|BC|，且|AB|＝|BC|，所以|AB－CD|＝|AD＋BC|，即③正确；因为|AD＋CD|＝|BC＋CD|＝|BDBD|，|CD－CB|＝|CD＋BC|＝|BD|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.3．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为()A．1B．2C.D.解析：选D延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求得AD＝∴|－|＝.4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0解析：选B如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.5.如图所示，已知点O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．解析：＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.答案：a－b＋c6．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.解析：设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42，故||2＋||2＝||2，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.答案：47．若向量a，b满足|a|＝4，|a－b|＝5，|a＋b|＝5，求|b|.解：如图，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作▱OACB，则有＝a＋b，＝a－b.∵|a－b|＝|a＋b|＝5，∴||＝||，∴平行四边形OACB为矩形，∴||2＝||2－||2＝52－42＝9，∴|b|＝||＝3.8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．解：如图，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.由题意，知||＝||＝2，||＝1.过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.在△ABE中，cos∠EAB＝＝.在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝.∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝.∴CF＝.∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.在Rt△AFC中，AC＝＝＝.∴|a＋b|＝.
